Parité de zéro - Définition et Explications

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Introduction

Zéro objets, divisés en deux groupes égaux.

Zéro est un nombre pair, étant donné qu'il remplit la définition d'un nombre pair : être un multiple de deux. Par conséquent, zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) partage toutes les propriétés des autres nombres pairs : 0 est divisible par 2, 0 est précédé et suivi par des nombres impairs, 0 est la somme d'un entier avec lui-même, et zéro objets peuvent être divisés entre deux groupes égaux. Zéro respecte les lois de somme et de produit de nombres pairs, comme par exemple pair - pair = pair, de sorte que toute autre définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) des nombres pairs se doit de considérer zéro comme un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) pair. Dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des nombres pairs, zéro joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle central : c'est l'élément neutre du groupe des entiers pairs et c'est le premier élément de la définition par récurrence des nombres pairs. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) entier divise 0, dont toutes les puissances de deux ; en ce sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...), 0 est le nombre le « plus pair » de tous.

Au niveau humain, la parité de 0 est moins bien comprise que celle de 2 ou 3. Il a été observé que la plupart des gens mettaient plus de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) à identifier 0 comme un nombre pair que les autres nombres pairs. Les écoliers tout comme les professeurs de l'enseignement (L'enseignement (du latin "insignis", remarquable, marqué d'un signe, distingué) est une...) primaire pensent parfois à tort que la parité de zéro (Zéro est un nombre pair, étant donné qu'il remplit la définition d'un nombre...) est ambigüe, ou même que zéro est impair. Plusieurs chercheurs en enseignement des mathématiques ont écrit que de telles fausses idées répandues constituaient des opportunités pour la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...). Certaines propositions comme 0 × 2 = 0 peuvent révéler les craintes des élèves à considérer 0 comme un nombre et à l'utiliser en arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...). Parler de la parité de zéro en classe peut déclencher de violents débats, les étudiants se confrontant aux principes de base du raisonnement mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), comme l'importance de définitions précises. Alors que la compréhension de zéro est déjà un objectif louable pour un écolier, l'évaluation de sa parité peut constituer une première introduction à une idée omniprésente en mathématiques : l'abstraction ( En philosophie, l'abstraction désigne à la fois une opération qui consiste a isoler par la...) d'une idée familière pour aller vers quelque chose de moins familier et de parfois inattendu.

Pourquoi zéro est-il pair ?

Il est facile de prouver directement que zéro est pair :

  • Un nombre est pair si c'est un multiple entier de 2. Zéro est un multiple entier de 2, car 0 × 2 = 0, donc 0 est pair.

Cette preuve utilise la définition précise de ce qu'est un « nombre pair », mais on peut aussi expliquer le fait que zéro est pair sans une telle définition. Les explications qui vont suivre justifient ce fait sur des idées plus fondamentales. On peut d'ailleurs ensuite en conclure la définition elle-même ainsi que son applicabilité à zéro.

Explications basiques

La boîte avec 0 objets n'a pas d'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...) laissé tout seul.

Une utilisation basique des nombres est le comptage. Étant donné un ensemble d'éléments, on fait appel à un certain nombre pour décrire combien il y a d'éléments dans l'ensemble. Zéro correspond au compte d'un ensemble où il n'y aurait pas d'éléments ; plus formellement, c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). L'idée de parité est utilisée lorsqu'on fait des sous-groupes de deux éléments. Si les éléments de l'ensemble peuvent être divisés en groupes de deux, sans qu'aucun élément ne reste tout seul, alors le nombre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) d'éléments est pair. Si un élément reste tout seul, le nombre d'éléments est impair.

L'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) contient zéro groupes de deux, aucun objet n'étant laissé tout seul, donc zéro est pair. Bien qu'il soit difficile de s'imaginer zéro groupes de deux, ou de porter attention à l'inexistence d'un élément seul, cette conception de la parité de zéro peut être illustrée en comparant l'ensemble vide avec d'autres ensembles, comme sur le diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées,...) à droite.

La droite des nombres fournit une autre méthode de description des nombres pairs, que ce soit parmi les nombres positifs, négatifs ou zéro. La répartition des nombres pairs et impairs apparaît clairement lorsqu'on distingue ceux-ci visuellement :

EvenOddNumberLine.svg

Les nombres pairs et impairs sont alternés. En partant d'un nombre pair quelconque et en allant ensuite à deux rangs à droite ou à gauche du nombre choisi, on obtient un autre nombre pair ; il n'y a alors aucune raison de sauter le nombre zéro.

La parité peut être approchée de manière plus formelle en utilisant l'arithmétique. Tout entier est soit de la forme (2 × ▢) + 0, soit de la forme (2 × ▢) + 1; ; la première forme représentant les nombres pairs et la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) les nombres impairs. Par exemple, 1 est impair car 1 = (2 × 0) + 1 et 0 est pair car 0 = (2 × 0) + 0.

Définition de la parité

La définition précise de toute notion mathématique comme « pair », défini par « multiple entier de deux » est, dans l'absolu, une convention. Contrairement à « pair », certains termes mathématiques sont définis de manière à exclure les cas dégénérés et triviaux. Les nombres premiers en sont un exemple célèbre. La définition d'un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...) est historiquement passée de « entier positif ayant au plus deux diviseurs » à « entier positif ayant exactement deux diviseurs », avec comme conséquence que 1 n'est dès lors plus considéré comme un nombre premier. De nombreux auteurs soutiennent ce changement en faisant remarquer que la définition moderne est davantage compatible avec les théorèmes qui se rapportent aux nombres premiers. Par exemple, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'arithmétique est plus facile à énoncer lorsque 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.

Il est donc théoriquement possible de redéfinir le mot « pair » de façon à ce que zéro ne soit plus un nombre pair. Cependant, cela rendrait plus difficile l'énoncé de théorèmes concernant les nombres pairs, dont les propriétés arithmétiques des nombres pairs et impairs.

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