Polynômes orthogonaux - Définition

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- Introduction - Introduction - Propriétés - Exemple : les polynômes de Legendre - Tableau des polynômes orthogonaux classiques - Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Exemple : les polynômes de Legendre

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est ]-1, 1[ et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1 :

Ils sont tous orthogonaux sur ]-1, 1[ :

Tableau des polynômes orthogonaux classiques

Nom et symbole conventionnel	Tchebychev, $\ T_n$	Tchebychev (seconde sorte), $\ U_n$	Legendre, $\ P_n$	Hermite (forme physique), $\ H_n$
Limite d'orthogonalité	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-\infty, \infty$
Poids, $W(x)\,$	$(1-x^2)^{-1/2}\,$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$1\,$	$e^{-x^2}$
Normalisation	$T_n(1)=1\,$	$U_n(1)=n+1\,$	$P_n(1)=1\,$	Coefficient dominant = $2^n\,$
Carré de la norme $h_n\,$	$\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right.$	$\pi/2\,$	$\frac{2}{2n+1}$	$2^n\,n!\,\sqrt{\pi}$
Coefficient dominant $k_n\,$	$2^{n-1}\,$	$2^n\,$	$\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\,$	$2^n\,$
Coefficient suivant $k'_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1\,$
$L\,$	$-x\,$	$-3x\,$	$-2x\,$	$-2x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$(1-x^2)^{3/2}\,$	$1-x^2\,$	$e^{-x^2}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n^2\,$	$n(n+2)\,$	$n(n+1)\,$	$2n\,$
Constante dans la formule de Rodrigues, $e_n\,$	$(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\,$	$2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\,$	$(-2)^n\,n!\,$	$(-1)^n\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$2\,$	$2\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$	$2\,$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$1\,$	$1\,$	$\frac{n}{n+1}\,$	$2n\,$

Nom et symbole	Laguerre associé, $L_n^{(\alpha)}$	Laguerre, $\ L_n$
Limites d'orthogonalité	$0, \infty\,$	$0, \infty\,$
Poids, $W(x)\,$	$x^{\alpha}e^{-x}\,$	$e^{-x}\,$
Normalisation	Coefficient dominant = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$	Coefficient dominant = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Carré de la norme $h_n\,$	$1\,$	$1\,$
Coefficient dominant $k_n\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Coefficient suivant $k'_n\,$	$\frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\,$	$\frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,$
$Q\,$	$x\,$	$x\,$
$L\,$	$\alpha+1-x\,$	$1-x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$x^{\alpha+1}\,e^{-x}\,$	$x\,e^{-x}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n\,$	$n\,$
Constante dans la relation de Rodrigues, $e_n\,$	$n!\,$	$n!\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$\frac{2n+1+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$\frac{n+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{n}{n+1}\,$

Nom et symbole	Gegenbauer, $C_n^{(\alpha)}$	Jacobi, $P_n^{(\alpha, \beta)}$
Limites d'orthogonalité	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$
Poids, $W(x)\,$	$(1-x^2)^{\alpha-1/2}\,$	$(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,$
Normalisation	$C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\,$ if $\alpha\ne0$	$P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,$
Carré de la norme, $h_n\,$	$\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}$	$\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}$
Coefficient dominant $k_n\,$	$\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\,$	$\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
Coefficient suivant $k'_n\,$	$0\,$	$\frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$
$L\,$	$-(2\alpha+1)\,x\,$	$\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{\alpha+1/2}\,$	$(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n(n+2\alpha)\,$	$n(n+1+\alpha+\beta)\,$
Constante dans l'équation de Rodrigues, $e_n\,$	$\frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)} {\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}$	$(-2)^n\,n!\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$\frac{2(n+\alpha)}{n+1}\,$	$\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$0\,$	$\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$\frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\,$	$\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}$

Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Une importante classe des polynômes orthogonaux provient d'une équation différentielle de Sturm-Liouville de la forme

où Q est un polynôme quadratique donné et L un polynôme linéaire donné. La fonction f est inconnue, et la constante λ est un paramètre. On peut remarquer qu'une solution polynomiale est a priori envisageable pour une telle équation, les degrés des termes étant compatibles. Cependant, les solutions de cette équation différentielle ont des singularités, à moins que λ ne prenne des valeurs spécifiques. La suite de ces valeurs ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2 \dots\,$ conduit à une suite de polynômes solutions $P_0, P_1, P_2 \dots\,$ si l'une des assertions suivantes est vérifiée :

Q est vraiment quadratique, L est linéaire, Q a deux racines réelles distinctes, la racine de L est située entre les deux racines de Q, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe.
Q n'est pas quadratique, mais linéaire, L est linéaire, les racines de Q et L sont différentes, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe si la racine de L est plus petite que celle de Q, ou inversement.
Q est un polynôme constant non nul, L est linéaire, et le terme de plus haut degré de L est de signe opposé à celui de Q.

Ces trois cas conduisent respectivement aux polynômes de Jacobi, de Laguerre et d'Hermite. Pour chacun de ces cas :

La solution est une suite de polynômes $P_0, P_1, P_2 \dots\,$ , chaque $P_n\,$ ayant un degré n, et correspondant au nombre ${\lambda}_n\,$ .
L'intervalle d'orthogonalité est limité par les racines de Q.
La racine de L est à l'intérieur de l'intervalle d'orthogonalité.
En notant $R(x) = e^{\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{Q(t)}\,dt}\,$ , les polynômes sont orthogonaux sous la fonction poids $W(x) =\frac{R(x)}{Q(x)}\,$
W(x) ne peut pas s'annuler ou prendre une valeur infinie dans l'intervalle, bien qu'il puisse le faire aux extrémités.
W(x) peut être choisi positif sur l'intervalle (multiplier l'équation différentielle par -1 si nécessaire)

En raison de la constante d'intégration, la quantité R(x) est définie à une constante multiplicative près. Le tableau ci-dessous donne les valeurs "officielles" de R(x) et W(x).

Formule de Rodrigues

Avec les hypothèses de la section précédente, P_n(x) est proportionnel à $\frac{1}{W(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)$

équation mieux connue sous le nom de « formule de Rodrigues ». Elle est souvent écrite :

où les nombres e_n dépendent de la normalisation. Les valeurs de e_n sont données dans le tableau plus bas.

Pour démontrer cette formule on vérifie, dans chacun des trois cas ci-dessus, que le $P n$ qu'elle fournit est bien un polynôme de degré n, puis, par intégrations par parties répétées, que pour tout polynôme P, $\langle \frac 1 W (WQ^n)^{(n)},P\rangle$ est égal à $(-1)^n\langle Q^n,P^{(n)}\rangle,$ donc est nul si P est de degré inférieur à n. Cette méthode montre en outre que $h_ne_n=(-1)^n n! k_n\int_a^b(Q(x))^nW(x)dx$ .

Les nombres λ_n

Avec les hypothèses de la section précédente,

(on remarquera que $Q$ étant quadratique et $L$ linéaire, $Q''$ et $L'$ sont bien des constantes.)

Seconde forme de l'équation différentielle

Avec $R(x) = \exp \left(\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{Q(t)}\,\mathrm{d}t \right)\,$ .

Alors

En multipliant maintenant l'équation différentielle

par R/Q, on obtient

ou encore

C'est la forme normalisée de Sturm-Liouville de l'équation.

Troisième forme de l'équation différentielle

En posant $S(x) = \sqrt{R(x)} = \exp \left(\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{2\,Q(t)}\,\mathrm{d}t \right)\,$ .

Alors :

En multipliant maintenant l'équation différentielle

par S/Q, on obtient :

ou encore

Mais $(S\,y)'' = S\,y'' + 2\,S'\,y' + S''\,y$ , donc

ou, en posant u = Sy,

Propriétés

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