Produit vectoriel - Définition et Explications

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Propriétés

Propriétés algébriques

Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif, non associatif :

  • Distributivité sur l'addition :
    \vec u\wedge(\vec v+\vec w) = \vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w,
  • Compatibilité avec la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) par un scalaire :
    \lambda (\vec u\wedge\vec v) = \lambda\vec u\wedge\vec v = \vec u\wedge\lambda\vec v,
  • Antisymétrie :
    \vec u\wedge\vec v = -\vec v\wedge\vec u
  • Non-associativité :
    \vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) \ne (\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) du produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...) par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.

Comme crochet de Lie, le produit vectoriel satisfait l'identité de Jacobi :

\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) + \vec w\wedge(\vec u\wedge\vec v) + \vec v\wedge(\vec w\wedge\vec u) = \vec 0

D'autre part, il satisfait aux identités de Lagrange (Égalités du Double produit vectoriel) :

\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w) = (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec u\cdot\vec v)\vec w
(\vec u\wedge\vec v)\wedge\vec w = (\vec u\cdot\vec w)\vec v - (\vec v\cdot\vec w)\vec u

En partant de l'identité algébrique :

\left((bc'-b'c)^2+(ca'-c'a)^2+(ab'-a'b)^2\right) + (aa'+bb'+cc')^2 = (a^2+b^2+c^2)\cdot (a'^2+b'^2+c'^2),

on peut démontrer facilement l'égalité (Identité de Lagrange) :

\|\vec u\wedge\vec v\|^2 + (\vec u\cdot\vec v)^2 = \|\vec u\|^2\cdot \|\vec v\|^2

que l'on peut aussi écrire sous la forme :

\left(\dfrac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 + \left(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right)^2 = 1\,

ce qui équivaut à l'identité trigonométrique :

\sin^2(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) + \cos^2(\widehat{\vec{u},\vec v}) = 1,

et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...).

Invariance par isométries

Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs u et v de E et pour toute rotation f de E, on a :

f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).

Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :

Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car f préserve l'orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...), l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) et les longueurs.

Produit mixte : L'isomorphisme linéaire f laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de f(u), f(v), f(w) peut être calculé dans l'image par f de la base orthonormée directe dans la quelle le produit mixte de u, v et w est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement :

(f(u)\wedge f(v))\cdot f(w)=[f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]=(u\wedge v)\cdot w\,.

Applications

Mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...)

On définit l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) rotationnel comme suit :

\overrightarrow\operatorname{rot} \ \vec u = \vec \nabla \wedge \vec u=\begin{vmatrix}  \vec i & \vec j & \vec k \\  \partial_x  & \partial_y & \partial_z   \\  u_x & u_y & u_z  \end{vmatrix}.

En mécanique du solide, c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur (Un torseur est un outil mathématique utilisé principalement en mécanique du solide...). D'autre part, les équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...) sur l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude...) s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...), notamment celles de Navier-Stokes.

Le moment d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) est défini comme le produit vectoriel de cette force \scriptstyle\vec F par le vecteur \scriptstyle\vec{AP} reliant son point (Graphie) d'application A au pivot P considéré :

\vec M_{\vec F/P} = \vec F\wedge\vec{AP} = \vec{PA}\wedge\vec F.

C'est une notion primordiale en mécanique du solide.

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...)

On considère ABCD un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...), c'est-à-dire qu'on a la relation

\textstyle\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

Comme indiqué plus haut dans la définition, l'aire de ce parallélogramme est égale à norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) du produit vectoriel de deux vecteurs sur lesquels il s'appuie, par exemple à

\left|\left| \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} \right|\right|.

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