Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de l'électromagnétisme, avec l'expression de la force électromagnétique de Lorentz.

Ces équations traduisent sous forme locale différents théorèmes (Gauss, Ampère (Ampère peut désigner :), Faraday) qui régissaient l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse...) avant que Maxwell ne les réunisse sous forme d'équations intégrales. Elles donnent ainsi un cadre mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) précis au concept fondamental de champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) introduit en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la nature ;...) par Faraday dans les années 1830.

Ces équations montrent notamment qu'en régime stationnaire, les champs électrique et magnétique sont indépendants l'un de l'autre, alors qu'ils ne le sont pas en régime variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...). Dans le cas le plus général, il faut donc parler du champ électromagnétique (Le champ électromagnétique est le concept central de l'électromagnétisme. On le conçoit souvent comme composition des deux champs vectoriels que l'on peut mesurer...), la dichotomie électrique/magnétique étant une vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) de l'esprit. Cet aspect trouve sa formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières...) définitive dans le formalisme covariant présenté dans la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde...) partie de cet article : le champ électromagnétique y est représenté par un être mathématique unique de type tenseur, le " tenseur de Maxwell ", dont certaines composantes s'identifient à celles du champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à distance par des particules...) et d'autres à celles du champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction, définie en...).

\Delta=\nabla^2


Cet article fait partie de la série
formulaire de physique (Un formulaire de physique regroupe, généralement par domaine d'étude, les outils et formules mathématiques adaptés. La nécessité d'un tel...)

Optique (L'optique est la branche de la physique qui traite de la lumière, du rayonnement électromagnétique et de ses relations avec la vision.)
Relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations d'un référentiel, ni les...)
Physique quantique
Electrostatique
Magnétostatique (La magnétostatique est l'étude des phénomènes où le champ magnétique est statique, c’est-à-dire ne dépend pas du temps.)
Electromagnétisme
Mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des...)
Thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition...)
Physique statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un...)
Analyse vectorielle (L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications...)
Electronique analogique (Le concept d'analogique est utilisé par opposition à celui de numérique.)
Mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...),...)

Aspects historiques

L'apport de Maxwell

Vers 1865, Maxwell a réalisé une synthèse harmonieuse des diverses lois expérimentales découvertes par ses prédécesseurs (lois de l'électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.), du magnétisme (Le magnétisme est un phénomène physique, par lequel se manifestent des forces attractives ou répulsives d'un objet sur un autre, ou avec des charges électriques en mouvement. Ces objets, dits magnétisables,...), de l'induction...), en les exprimant sous la forme d'un système de quatre équations aux dérivées partielles couplées. Elles furent publiées dans leur forme définitive en 1873 dans l'ouvrage Electricity and Magnetism.

Mais cette synthèse n'a été possible que parce que Maxwell a su dépasser les travaux de ses devanciers, en introduisant dans une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner...) un " chaînon manquant ", appelé le courant de déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En...), dont la présence assure la cohérence de l'édifice unifié.

Les héritiers de Maxwell

La synthèse de Maxwell a permis ultérieurement les deux plus grandes avancées de la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de connaissances,...) moderne :

  • la théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont fait un important champ d'étude, tant théorique qu'expérimental.) restreinte (via le problème du référentiel de l'hypothétique " éther " ). En effet, les équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de base de...) permettent de prédire l'existence d'une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...) électromagnétique, c'est-à-dire que la modification d'un des paramètres (densité de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement transporté par un moyen de transport donné, et qui donne lieu à un paiement ou un bénéfice non pécuniaire...), intensité du courant...) va avoir des répercussions à distance avec un certain retard. Or, la vitesse (On distingue :) de ces ondes, c, calculée avec les équations de Maxwell, est égale à la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est une constante...) qui a été mesurée expérimentalement. Cela a permis de conclure que la lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de...) était une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière. Une...) électromagnétique. Le fait que c soit la même dans toutes les directions et indépendante du référentiel, conclusion que l'on tire de ces équations, est un des fondements de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) de la relativité. En fait, on remarque que si l'on change de référentiel, le changement de coordonnées classique ne s'applique pas aux équations de Maxwell, il faut utiliser une autre transformation, la transformation de Lorentz. Einstein a essayé d'appliquer les transformations de Lorentz à la mécanique classique, et cela l'a conduit à la théorie de la relativité restreinte.
  • la physique quantique. L'étude de la lumière et des ondes électromagnétiques, avec notamment les travaux de Max Planck sur le corps noir (En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne dépend que de sa température. En pratique, un tel objet matériel n'existe pas, mais il représente un cas idéalisé servant de...) et d'Heinrich Hertz (Le hertz (symbole : Hz) est l’unité dérivée de fréquence du système international (SI). Elle est équivalente à une oscillation par seconde (s-1 ou...) sur l'effet photo-électrique donna naissance à la théorie quantique en 1900.

Théorie de Maxwell-Lorentz dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.)

On présente ci-dessous la théorie microscopique fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) qui donne les équations de Maxwell-Lorentz dans le vide en présence de sources, qui peuvent être des charges ponctuelles et/ou leurs courants électriques microscopiques associés si ces charges sont en mouvement dans le référentiel d'étude.

La théorie macroscopique nécessitant l'introduction des champs D et H (et les équations de Maxwell associées) sont discutés en détails dans l'article : Électrodynamique (L'électrodynamique est la discipline physique qui étudie et traite des actions dynamiques entre les courants électriques.) des milieux continus.

On note :

  • \rho(\vec{r},t) est la densité de charge (La densité de charge électrique correspond au rapport de la charge sur le volume. Elle peut être exprimée en coulomb par mètre cube (C/m3).) électrique locale au point (Graphie) \vec{r} à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) t.
  • \vec{j}(\vec{r},t) le vecteur densité de courant (On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose  :).
  • \vec{E}(\vec{r},t) le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication...) champ électrique.
  • \vec{B}(\vec{r},t) le vecteur champ magnétique.
  • \epsilon_0\, la permittivité (En électromagnétisme, la permittivité ε d'un matériau est le rapport D/E du déplacement électrique (aussi appelé induction électrique ou excitation...) diélectrique du vide.
  • \mu_0\, la perméabilité magnétique du vide.

Équation de Maxwell-Gauss

L'équation locale de Maxwell

Cette équation locale donne la divergence du champ électrique en fonction de la densité de la charge électrique (La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le principe de conservation.). Elle s'écrit :

\mathrm{div}\ \overrightarrow{E} \ = \ \frac{\rho}{\varepsilon_0}

Cette équation correspond à un " terme de source " : la densité de charge électrique est une source du champ électrique. Par exemple, pour une charge ponctuelle q\, fixée à l'origine O\,, la loi de Coulomb (En physique, il existe deux lois de Coulomb, nommées en l'honneur du physicien français Charles de Coulomb :) donnant le champ électrostatique en un point M\, de l'espace, point repéré par le vecteur position \vec{OM} = \vec{r} = r \ \vec{u}_r\vec{u}_r\, est le vecteur unitaire radial, s'écrit :

\vec{E}(M) \ = \ \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \, r^2 } \ \vec{u}_r

Ce champ électrostatique vérifie l'équation de Maxwell-Gauss pour la source statique :

\rho(\vec{r},t) \ = \ q \ \delta^3(\vec{r})

\delta^3(\vec{r})\, est la distribution de Dirac dans l'espace à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...).

Le théorème de Gauss (Plusieurs théorèmes sont dus à Carl Friedrich Gauss :)

L'équation de Maxwell-Gauss est héritée du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Gauss, qui permet de lier le flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus précisément le terme est employé dans les domaines...) du champ électrique à travers une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure,...) fermée, à la charge intérieure à cette surface :

\oint_{\Sigma}\vec{E}\cdot{\rm d}\vec{S} \ = \ \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}

\Sigma\, est une surface fermée arbitraire, appelée surface de Gauss, et Q_{int}\, la charge électrique totale intérieure à cette surface \Sigma\, [1].

Équation de Maxwell de conservation du flux

Le flux du champ magnétique à travers une surface \Sigma\, fermée est toujours identiquement nul :

\!\!\!\oint_{\Sigma}\vec{B}\cdot{\rm d}\vec{S} \ = \ 0

L'équation locale de Maxwell

Cette équation locale est au champ magnétique ce que l'équation de Maxwell-Gauss est au champ électrique, à savoir une équation avec " terme de source ", ici identiquement nul :

\mathrm{div}\ \vec{B} \ = \ 0

Elle traduit le fait expérimental suivant : il n'existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle magnétique serait une source ponctuelle de champ magnétique, analogue de la charge électrique ponctuelle pour le champ électrique. Or, l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini...) de base source d'un champ magnétique est l'aimant (Un aimant est un objet fabriqué dans un matériau magnétique dur, c’est-à-dire dont le champ rémanent et l'excitation coercitive sont grands (voir ci-dessous). Cela lui donne des propriétés particulières...), qui se comporte comme un dipôle (D'une manière générale, le mot dipôle désigne une entité qui possède deux pôles. On le retrouve dans plusieurs domaines :) magnétique : un aimant possède en effet un pôle nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus septentrional de la planète Terre. Il est défini comme le point d’intersection de l'axe de rotation de la Terre...) et un pôle sud (Le pôle Sud est le point le plus au sud de la surface de la Terre, diamétralement opposé au pôle Nord. Il est situé sur le continent Antarctique.). L'expérience fondamentale consistant à tenter de couper un aimant en deux donne naissance à deux aimants, et non un pôle nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) et un pôle sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) séparément[2].

Introduction du potentiel-vecteur

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

\mathrm{div} \ \overrightarrow{ \mathrm{rot}} \ = \ 0

Réciproquement, toute fonction dont la divergence est identiquement nulle peut être exprimée sous la forme d'un rotationnel.

L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement[3] un potentiel-vecteur \overrightarrow{A}\, tel que :

\overrightarrow{B} \ = \ \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{A}

Le problème important de l'unicité du potentiel-vecteur est discuté plus loin au paragraphe : Invariance de jauge de la théorie.

Équation de Maxwell-Faraday

Cette équation locale traduit le phénomène fondamental d'induction électromagnétique découvert par Faraday.

L'équation locale

Elle donne le rotationnel du champ électrique en fonction de la dérivée temporelle du champ magnétique :

\overrightarrow{\mathrm{rot}}\ \overrightarrow{E} \ = \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}

Cela correspond à un " terme variationnel " : la variation du champ magnétique crée un champ électrique. Sa forme intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur (le...) est la loi de Faraday :

e \ = \ - \ \frac{d\Phi}{dt}

e\, est la force électromotrice (Lorsque le flux du champ magnétique qui traverse un circuit conducteur varie au cours du temps, il apparaît dans ce circuit une tension. La tension ainsi créée est orientée de façon à générer des...) d'induction dans un circuit électrique (Un circuit électrique est un ensemble simple ou complexe de conducteurs et de composants électriques ou électroniques parcouru par un courant électrique.) et \Phi\, le flux magnétique à travers ce circuit.

Introduction du potentiel électrique (Le potentiel électrique est l'une des grandeurs définissant l'état électrique d'un point de l'espace. Son unité est le volt.)

L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul :

\overrightarrow{ \mathrm{rot}} \ \overrightarrow{ \mathrm{grad}} \ \ = \ \vec{0}

L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur \vec{A}\, permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique V\, (scalaire) tel que :

\overrightarrow{E} \ = \ - \ \overrightarrow{\mathrm{grad}} \ V \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}

Le problème important de l'unicité du potentiel électrique est discuté plus loin au paragraphe : Invariance de jauge de la théorie.

Équation de Maxwell-Ampère

L'équation locale de Maxwell

Cette équation est héritée du théorème d'Ampère. Sous forme locale, elle s'écrit en termes du vecteur densité de courant (La densité de courant électrique est définie comme le courant électrique par unité de surface (figure). Mathématiquement, le courant et la densité de courant sont liés par la relation :) \overrightarrow{j}\, :

\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{B} \ = \ \mu_0 \overrightarrow{j} \ + \ \varepsilon_0 \mu_0 \  \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}

Introduction du courant de déplacement

L'équation précédente peut se réécrire :

\overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{B} \ = \ \mu_0 \ \left( \, \overrightarrow{j} \, + \, \overrightarrow{j}_D \, \right)

en introduisant le courant de déplacement de Maxwell :

\overrightarrow{j}_D \ = \ \varepsilon_0 \  \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}

La forme intégrale lie la circulation (La circulation routière (anglicisme: trafic routier) est le déplacement de véhicules automobiles sur une route.) du champ magnétique sur un contour C fermé, et les courants qui traversent la surface s'appuyant sur ce contour :

\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}l} \ = \ \mu_0 \int_{S} \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} S} \ + \  \varepsilon_0 \mu_0 \ \frac{\partial ~}{\partial t} \ \int_{S} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} S}

Équation de conservation de la charge

Prenons la divergence de l'équation de Maxwell-Ampère :

\mathrm{div} \ \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{B} \ = \ 0 \ = \mu_0 \ \mathrm{div} \, \overrightarrow{j} \ + \ \varepsilon_0 \mu_0 \  \mathrm{div} \, \left( \, \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} \, \right)

On peut écrire en permutant les dérivées spatiales et temporelles, puis en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss :

\mathrm{div} \, \left( \, \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} \, \right) \ = \  \frac{\partial~}{\partial t} \ \left( \, \mathrm{div} \, \overrightarrow{E} \, \right) \ = \ \frac{1}{\epsilon_0} \ \frac{\partial \rho}{\partial t}

On obtient finalement l'équation locale de conservation de la charge électrique :

\mathrm{div} \, \overrightarrow{j} \ + \ \frac{\partial \rho}{\partial t} \ = \ 0

Le lecteur aura noté la présence essentielle du terme de courant de déplacement introduit par Maxwell pour l'obtention de cette équation.

Invariance de jauge de la théorie

L'analyse vectorielle montre que la divergence d'un rotationnel est toujours identiquement nulle :

\mathrm{div} \ \overrightarrow{ \mathrm{rot}} \ = \ 0

L'équation locale de conservation du flux magnétique permet donc de définir au moins localement [4] un potentiel-vecteur \overrightarrow{A}\, tel que :

\overrightarrow{B} \ = \ \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \overrightarrow{A}

L'analyse vectorielle nous dit également que

\overrightarrow \mathrm{rot} \ \overrightarrow{ \mathrm{grad}} \ = \ 0

Alors le potentiel-vecteur n'est pas défini de manière unique puisque la transformation suivante, avec f\, une fonction quelconque

\overrightarrow{A} \rightarrow \overrightarrow{A}+ \overrightarrow \nabla f

ne modifie par la valeur du champ \overrightarrow{B}\,. Ceci est un exemple de transformation de jauge. Il faut donc imposer des conditions supplémentaire pour déterminer \overrightarrow{A}\, de façon non-ambigüe. On appelle cela des conditions de jauge, par exemple la jauge de Coulomb ou encore la jauge de Lorenz (La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois Ludwig Lorenz (elle est souvent attribuée, à tort, au physicien Hendrik Lorentz...).

Le lecteur notera qu'en physique classique, le potentiel-vecteur semble n'être qu'un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par...) mathématique commode pour analyser les solutions des équations de Maxwell, mais ne semble pas être une grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou phénomène particulier de la physique. Par exemple, la...) directement mesurable. En 1959, dans le cadre de la physique quantique, Aharonov et Bohm ont démontré[5] que le potentiel-vecteur avait un effet observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un paramètre physique, ou plus...) en mécanique quantique : c'est l'effet Bohm-Aharonov.

L'analyse vectorielle montre que le rotationnel d'un gradient est toujours identiquement nul :

\overrightarrow{ \mathrm{rot}} \ \overrightarrow{ \mathrm{grad}} \ \ = \ \vec{0}

L'équation de Maxwell-Faraday couplée à l'existence locale d'un potentiel-vecteur \vec{A}\, permettent de définir (au moins localement) le potentiel électrique V\, (scalaire) tel que :

\overrightarrow{E} \ = \ - \ \overrightarrow{\mathrm{grad}} \ V \ - \ \frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}

Le potentiel V\, lui non plus n'est pas défini de façon unique mais la transformation de jauge associée est liée à celle de \overrightarrow{A}\, est la suivante (on rappelle celle de \overrightarrow{A}\, par souci de clarté) et on a

\left\{ \begin{matrix} V & \rightarrow & V - \partial_t f \\ \overrightarrow{A} & \rightarrow & \overrightarrow{A} + \overrightarrow{\nabla} f \end{matrix}\right. \,

Ces deux équations donnent l'invariance de jauge complète des équations de Maxwell.

Solutions des équations du champ électromagnétisme.

Pour simplifier, conformément à la pratique, nous attribuerons ces équations à Maxwell, en les appelant " équations de Maxwell " (EM).

Solutions mathématiques des équations de Maxwell dans le vide.

Résolvons les EM dans l 'espace éventuellement limité par des conditions qui gardent la linéarité.

Représentons des solutions par des lettres Q, R , ...( ensembles des 6-vecteurs formés des six composantes du champ en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point de coordonnées x, y, z, t ). Par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la linéarité, αQ + βR + ... , où α , β ... sont des constantes réelles est une solution. En conséquence, les solutions sont représentées par les points d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) réel. Conformément à la définition introduite en acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel aux phénomènes ondulatoires et à la mécanique vibratoire.), un mode est un rayon de cet espace. Un système complet de solutions constitue un repère dans cet espace nommé tantôt espace des solutions, tantôt espace des modes. Une solution particulière dans un mode est obtenue en multipliant un champ de ce mode posé comme champ d'amplitude (Dans cette simple équation d’onde :) unité, par une constante réelle, l'amplitude.

Avec un système d'unités convenable, l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) W(Q) d'une solution Q est l'intégrale étendue à tout l'espace, à un instant donné, de Q 2 ; on oublie très souvent que cette équation est non-linéaire, de sorte que si on peut ajouter des champs, les énergies correspondantes ne s'ajoutent pas. En considérant que W(Q) est le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) de Q, par des processus d'orthogonalisation de Schmitt, on obtient des systèmes complets de solutions orthogonales, ou encore des systèmes complets de modes orthogonaux. Dans ces systèmes, les énergies sont indépendantes.

Planck a posé que l'énergie dans un mode monochromatique (On qualifie de monochromatique (du grec mono-, un seul et chromos, couleur) une lumière dont la couleur n'est formée que d'une fréquence ou, par extension de sens, d'une bande très étroite de fréquence au niveau de...) de fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi...) ν se propageant dans un corps noir à la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle...) T est w = hν/(exp(hν/kT)-1)+K. La valeur erronée de K donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par Planck a été corrigée par Nernst en 1916; la valeur K = hν/2 est facilement retrouvée car la thermodynamique impose que w tende vers kT lorsque T tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Cette formule définit la température d'un mode. Cependant l'interprétation de cette formule est physiquement délicate car la définition d'une fréquence pure ν suppose une expérience de durée infinie.

Introduction des charges électriques

On sait calculer les champs émis par des charges, par exemple le champ émis par un dipôle oscillant. Pour se ramener au problème précédent, on utilise le " truc de Schwarzschild et Fokker ". Le champ émis par une source est nommé " champ retardé " QR. Dépouillé de la source, ce champ n'est pas solution des EM. Pour obtenir une solution identique dans le futur, il faut lui ajouter un " champ avancé " QA. Par cette définition, QA + QR est solution des EM. Ainsi, en substituant le champ avancé à la source, on est ramené au problème linéaire d'un champ dans le vide et on peut définir des modes.

Solutions Physiques des équations de Maxwell.

Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale....) est libre d'ignorer des contingences physique en faisant, de façon plus ou moins implicite, des hypothèses irréalistes; ainsi nous avons supposé qu'il existe des systèmes électromagnétiques isolés dans lesquels il est loisible d'introduire quelques champs choisis; l'établissement de la loi de Planck (La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température thermodynamique.) est un exemple remarquable de cette hypothèse. Montrons que cette hypothèse est physiquement absurde.

Sauf peut-être dans les étoiles à neutrons, la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) est constituée de particules petites par rapport à leurs distances. Ces particules sont les sources des champs électromagnétiques; le champ émis par une particule décroît avec la distance, il est donc beaucoup plus intense en son voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la...) qu'à proximité d'autres particules. Or l'absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par une autre entité, par exemple, un atome qui fait une...) d'un champ est l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les...) d'un champ opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau,...); la génération d'un tel champ est difficilement et approximativement obtenue pour obtenir une absorption active en acoustique, au moyen de haut parleurs, pour réduire l'intensité d'un bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son. C'est-à-dire vibration de l'air pouvant donner lieu à la création d'une sensation auditive.). La génération de l'opposé du champ électromagnétique créé par une particule, intense en son voisinage requiert l'addition des champs faibles créés par de nombreuses autres particules, ce qui ne fait que compliquer le problème qui apparaît ainsi insoluble: il subsiste un champ résiduel stochastique loin des sources.

L'existence nécessaire de champs résiduels, connue, semble-t-il depuis longtemps, est exploitée, dans le cadre de l'électromagnétisme, depuis la fin du dix-neuvième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée...) par les charlatans qui se reconnaissent sous des noms tels que " radiesthésistes ". En électromagnétisme, les physiciens se sont heurtés à une impossibilité d'évaluer ces " champs résiduels " jusqu'à la détermination de leur valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des...) hν/2 par mode monochromatique, à 0K, faite par Planck et Nernst. La théorie de l'émission et de l'absorption due à Einstein (1917) a été complétée par l'interprétation de l'émission spontanée de lumière comme une amplification (On parle d'amplificateur de force pour tout une palette de systèmes qui amplifient les efforts : mécanique, hydraulique, pneumatique, électrique.) du champ résiduel. Le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) d'échange d'énergie entre une source monochromatique et le champ dépend de l'interférence (En mécanique ondulatoire, on parle d'interférences lorsque deux ondes de même type se rencontrent et interagissent l'une avec l'autre. Ce phénomène apparaît souvent en optique...) du champ émis avec le champ d'origine extérieure préexistant dans le mode, donc simplement des phases relatives.

Le champ résiduel dans un corps noir à 0K, habituellement nommé " champ du point zéro ", est souvent présenté comme un champ mystérieux d'origine quantique, présentation absurde puisque sa valeur moyenne a été correctement évaluée par Nernst plus de dix ans avant la naissance de la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous...); sans sa connaissance il n'aurait pas été possible de fonder l'électrodynamique quantique (L'électrodynamique quantique relativiste est une théorie physique ayant pour but de concilier l'électromagnétisme avec la mécanique quantique en utilisant un formalisme Lagrangien...) en identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les informations permettant à une personne de s'identifier auprès d'un...) l'énergie électromagnétique (Les forces électrostatiques et magnétiques peuvent faire déplacer des objets à distance, il semble donc évident qu'à tout phénomène électromagnétique est associé une énergie potentielle, c'est-à-dire que si une charge se trouve là,...) d'un mode à celle d'un oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs est l'oscillateur harmonique : ses oscillations sont décrites par une...) quantique.

Il faut se garder de penser que dans un mode il y a deux champs, un champ usuel et un champ du point zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...); une telle conception serait absurde puisque le champ dans un mode dépend d'un seul paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) réel, l'amplitude du champ.

Ainsi, une absorption d'un mode ne peut réduire l'amplitude du champ que jusqu'à une limite inférieure qui correspond, en moyenne, à l'énergie hν/2; une émission est une amplification d'un champ préexistant; elle est dite spontanée si le champ préexistant correspond à une énergie voisine de hν/2, et induite si cette énergie est notablement supérieure à hν/2.

Quantification en électrodynamique classique.

Un système physique possède, en général, des minimums d'énergie relatifs. En régime non évolutif (stationnaire), le système, excité par un champ électromagnétique de l'ordre de hν/2 dans chaque mode qu'il est susceptible d'émettre (donc d'absorber), reste au voisinage d'un minimum d'énergie; pour chaque mode monochromatique, son excitation l'amène à rayonner un champ en quadrature avec le champ incident, ce qui ne produit aucun échange d'énergie permanent, mais introduit un retard, la réfraction (En physique des ondes — notamment en optique, acoustique et sismologie — le phénomène de réfraction est la déviation d'une onde lorsque la vitesse de...). Pour un champ plus intense, en particulier en raison d'une fluctuation favorable du champ, le système peut franchir un col de son diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé dans tous...) d'énergie et absorber une énergie hν cette absorption peut conduire à un niveau peu stable d'où le système peut évoluer rapidement vers d'autres niveaux, en une cascade plus ou moins radiative qui l'amène à un état stationnaire, stable.

Dans une théorie classique, aucun paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui...) ne peut être admis, en particulier le paradoxe d'Einstein, Podolsky et Rosen n'existe pas: supposons qu'un atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner...) perde une énergie de résonance (Lorsqu'on abandonne un système stable préalablement écarté de sa position d'équilibre, il y retourne, généralement à travers des oscillations propres. Celles-ci se produisent à la fréquence propre du système. Si le système n'est...) hν, par exemple par le rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de transmission d'énergie impliquant une particule porteuse.) d'un dipôle. Le mode d'émission de ce dipôle n'est pas orthogonal aux modes d'émission (donc d'absorption) d'autres atomes dont l'amplitude peut être accrue; 0, 1, 2, ... atomes peuvent alors absorber hν, même si, en moyenne, un seul atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. La théorie...) est excité; les champs résiduels jouent le rôle d'un bain thermodynamique.

Quelques erreurs habituelles

- Il a été écrit que l'électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un...) d'un atome d'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.) suivant une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) de Bohr émet un champ, donc rayonne de l'énergie et devrait tomber sur le noyau. L'électron émet bien un champ, mais, une énergie très faible, en raison de l'interférence du champ émis avec le champ résiduel; cette énergie tombe à zéro si l'orbite est légèrement corrigée, de sorte que l'énergie de l'état stationnaire subit le déplacement de Lamb.

- L'étude de l'amorçage d'un laser (Un laser est un appareil émettant de la lumière (rayonnement électromagnétique) amplifiée par émission stimulée. Le terme laser provient de...) semble indiquer que le champ du point zéro induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer...) une émission deux fois plus intense qu'un champ d'intensité plus grande. Pour tenir compte de ce résultat, on peut introduire une " radiation de réaction ", ad hoc. La véritable explication est très simple: un atome est excité par un champ dans le mode qu'il peut émettre, dit sphérique; au démarrage du laser, il existe dans ce mode une amplitude correspondant à hν/2; le laser fonctionne sur un mode d'onde plane (L'onde plane est un concept issu de la physique de la propagation des ondes. C'est une onde dont les fronts d'onde sont des plans infinis, tous perpendiculaires à une même...) dont il faut prendre la composante sphérique pour exciter l'atome, ce qui divise l'énergie par deux.

- Il n'existe pas de système électromagnétique isolé; oublier que le champ minimum est le champ du point zéro conduit à des erreurs lorsqu'on détecte des champs faibles.

Formulation covariante

NB Cette partie suit les conventions de signe classiques de MTW [6]

Cette partie adopte également la convention de sommation d'Einstein.

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) de l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du temps telle qu'elle avait...) de Minkowski

L'espace-temps de Minkowski (1908) est une variété différentielle M plate munie d'une métrique lorentzienne.

Soit un système de coordonnées quelconque xμ autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco,...) d'un évènement (point) P de l'espace-temps, et soient {\mathbf e}_{\mu}(x) une base locale de TxM, espace tangent à la variété au point x \in M. Un vecteur tangent \mathbf w \in T_xM s'écrit alors comme la combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire :

\mathbf{w} \ = \ w^{\mu} \  \mathbf{e}_{\mu}

Les wμ sont appelée les composantes contravariantes du vecteur w. Le tenseur métrique \mathbf \eta est la forme bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ) symétrique[7] :

\mathbf \eta \ = \ \eta_{\mu \nu} \ dx^{\mu} \ \otimes \ d x^{\nu}

Dans une base orthonormée d'un référentiel inertiel, ses composantes covariantes ημν sont :

\eta_{\mu \nu} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -, \, +, \, +, \, + \, )

Ses composantes contravariantes ημν vérifient :

\eta_{\mu \alpha} \ \eta^{\alpha \nu} \ = \ \delta_{\mu}^\nu

On obtient explicitement :

\eta^{\mu \nu} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -, \, +, \, +, \, + \, )

On utilisera ci-dessous les conventions usuelles suivantes :

  • un indice grec varie de 0 à 3. Il est associé à une grandeur dans l'espace-temps.
  • un indice latin varie de 1 à 3. Il est associé aux composantes spatiales d'une grandeur dans l'espace-temps.

Par exemple, les composantes contravariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

x^{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} x^{0} \\ x^{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} x^{0} \\ x^{1} \\ x^{2} \\                   x^{3} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix}                   c t \\ x \\ y \\ z  \end{matrix} \right)

Le tenseur métrique définit pour chaque point x \in M de l'espace-temps un pseudo-produit scalaire (pseudo au sens où l'hypothèse de positivité est retirée) dans l'espace TxM euclidien tangent à M au point x. Si \mathbf u et \mathbf v sont deux vecteurs de TxM, leur produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle...) s'écrit :

\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf \eta (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ \eta_{\mu \nu} \ u^{\mu} \ v^{\nu}

En particulier, en prenant deux vecteurs de base, on obtient les composantes :

\eta_{\mu \nu} \ = \ \mathbf \eta ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \cdot {\mathbf e}_{\nu}

wμ désignant les composantes contravariantes du vecteur w, on peut définir de même ses composantes covariantes par :

w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}

Par exemple, les composantes covariantes du 4-vecteur position s'écrivent dans un système de coordonnées orthonormales :

x_{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} x_{0} \\ x_{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\                   x_{3} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix}                   - \ c  t \\ x \\  y \\ z  \end{matrix} \right)

Quadri-gradient

On introduit l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble...) quadri-gradient par ses composantes covariantes :

\partial_{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} \partial_{0} \\ \partial_{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} 1/c \ \partial_t \\ \vec{\nabla} \end{matrix} \right)

Ses composantes contravariantes s'écrivent :

\partial^{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} \partial^{0} \\ \partial^{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} - \ 1/c \ \partial_t  \\ \vec{\nabla} \end{matrix} \right)

L'opérateur invariant d'Alembertien s'écrit par exemple :

\Box \ = \ \partial^{\mu} \partial_{\mu} \ = \  - \ \frac{1}{c^2} \ \partial_t^2 \ + \ \vec{\nabla}^2

Quadri-potentiel

On introduit le quadri-potentiel électromagnétique par ses composantes contravariantes :

A^{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} A^{0} \\ A^{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} \ V/c \\ \vec{A} \end{matrix} \right)

V est le scalaire potentiel électrique, et \vec{A} le potentiel-vecteur magnétique. Ses composantes covariantes s'écrivent :

A_{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} A_{0} \\ A_{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} - \ V/c \\ \vec{A} \end{matrix} \right)

Les lois de transformation de jauge écrite précédemment sont donc résumées dans cette notation sous la forme

A^\mu\rightarrow A^\mu + \partial^\mu f  \,

La condition de jauge de Lorenz s'écrit par exemple de façon covariante :

\partial_{\mu} A^{\mu} \ = \  \frac{1}{c^2} \ \frac{\partial V}{\partial t} \ + \ \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \ = \ 0

Quadri-courant

On introduit le quadri-courant électromagnétique par ses composantes contravariantes :

j^{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} j^{0} \\ j^{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} \rho c \\ \vec{j} \end{matrix} \right)

ρ est le scalaire densité électrique de charge, et \vec{j} le vecteur densité de courant. Ses composantes covariantes s'écrivent :

j_{\mu} \ = \  \left( \begin{matrix} j_{0} \\ j_{i} \end{matrix} \right) \ = \  \left( \begin{matrix} - \ \rho c \\ \vec{j} \end{matrix} \right)

Tenseur de Maxwell

Le tenseur de Maxwell est le tenseur anti-symétrique de rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème...) deux défini à partir du quadri-potentiel par  :

F_{\alpha\beta} \ = \ \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \ = \ - \  F_{\beta\alpha}

Ses composantes covariantes s'écrivent explicitement :

F_{\alpha\beta}  \ = \ \begin{pmatrix}         0 & - \ \frac{E_x}{c} & - \ \frac{E_y}{c} & - \ \frac{E_z}{c} \\         \frac{E_x}{c} &  0   & B_z & - \ B_y \\         \frac{E_y}{c} & - \ B_z &  0   & B_x \\         \frac{E_z}{c} & B_y &  - \ B_x & 0    \\       \end{pmatrix}

On obtient ses composantes contravariantes en écrivant :

F^{\alpha\beta}  \ = \  \eta^{\alpha \mu} \ \eta^{\beta \nu} \ F_{\mu\nu}

La métrique étant diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) dans un référentiel inertiel, on obtient alors les formules suivantes, sans sommation sur les indices répétés  :

  • F^{00} \ = \  \eta^{00} \ \eta^{00} \ F_{00} \ = \ + \ F_{00} \ = \ 0
  • F^{0i} \ = \  \eta^{00} \ \eta^{ii} \ F_{0i} \ = \ - \ F_{0i}
  • F^{ij} \ = \  \eta^{ii} \ \eta^{jj} \ F_{ij} \ = \ + \ F_{ij}

soit explicitement :

F^{\alpha\beta}  \ = \  \eta^{\alpha \mu} \ \eta^{\beta \nu} \ F_{\mu\nu} \ = \ \begin{pmatrix}         0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\       - \  \frac{E_x}{c} &  0   & B_z &  - \ B_y \\       - \  \frac{E_y}{c} &  - \ B_z &  0   & B_x \\       - \  \frac{E_z}{c} & B_y &  - \ B_x & 0    \\       \end{pmatrix}

Équations de Maxwell sous forme covariante

Les équations de Maxwell se mettent sous forme relativiste covariante.

  • Les deux équations de Maxwell sans termes de sources s'écrivent :
\partial_{\alpha}F_{\beta\gamma} \ + \ \partial_{\beta}F_{\gamma\alpha} \ + \ \partial_{\gamma}F_{\alpha\beta} \ = \ 0
  • Les deux équations de Maxwell avec termes de sources s'écrivent :
\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta} \ = \ - \ \mu_{0} \ j^{\beta}

Puisque le tenseur de Maxwell est anti-symétrique, cette dernière relation entraîne en particulier que le quadri-courant est conservé :

\partial_{\beta} \left(\partial_{\alpha}F^{\alpha\beta}\right) \ = \ 0 \ = \ - \ \mu_{0} \ \partial_{\beta} j^{\beta} \quad \Longrightarrow \quad \partial_{\beta} j^{\beta} \ = \ 0

Équation de propagation pour le quadri-potentiel en jauge de Lorentz (La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois Ludwig Lorenz (elle est souvent attribuée, à tort, au physicien Hendrik Lorentz probablement car celle-ci est invariante...)

En écrivant explicitement le tenseur de Maxwell en termes du quadri-potentiel dans l'équation covariante avec terme de sources, on obtient pour le membre de gauche :

\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} \ = \ \partial_{\alpha} \left( \, \partial^{\alpha} A^{\beta} - \partial^{\beta} A^{\alpha}  \, \right) \ = \ \Box A^{\beta} \ - \ \partial^{\beta} \left( \, \partial_{\alpha} A^{\alpha} \, \right)

Dans la jauge de Lorenz \partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0, le second terme disparaît, et l'équation de Maxwell avec terme de sources se réduit à une équation de propagation pour le quadri-potentiel :

\Box A^{\mu}(x) \ = \ - \ \mu_{0} \ j^{\mu}(x)

La solution de cette équation s'écrit de façon simple si l'on connaît une fonction de Green de l'équation de propagation, c'est-à-dire une fonction G(x) solution[8] de l'équation aux dérivées partielles :

\Box \, G(x) \ = \ \delta(x)

δ(x) est la distribution de Dirac. On obtient alors le quadri-potentiel sous la forme d'un produit de convolution :

A^{\mu}(x) \ = \ - \ \mu_{0} \ \left( G \star j^{\mu} \right) (x) \ = \ - \ \mu_{0} \ \int G (x-y) \ j^{\mu} (y) \ dy

Exemple : les potentiels retardés

En électrodynamique classique, on utilise le plus souvent la fonction de Green retardée qui satisfait à l'hypothèse de causalité :

G(x) \ = \ G(\vec{r},t) \ = \ 0 \quad \mbox{ lorsque } \ t \ < \ 0

Cette fonction de Green s'écrit :

Équations de Maxwell-Lorentz dans les milieux matériels

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