Produit vectoriel - Définition et Explications

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Notation

Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel :

  • En France, le produit vectoriel de u et de v est noté u\wedge v, où le V inversé se lit wedge ou vectoriel. Cette notation a été initiée par Cesare Burali-Forti et Roberto Marcolongo en 1908. Son inconvénient est de rentrer en conflit avec la notation du produit extérieur.
  • Dans la littérature anglophone (et au Canada francophone, ainsi qu'en Suisse), le produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...) est noté u\times v. Cette notation est due à Josiah Willard Gibbs. Son inconvénient est d'induire une confusion éventuelle avec le produit des réels et le produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé...). Mais ces produits ne portent pas sur des objets de même nature.
  • Une troisième notation est l'utilisation des crochets de Lie : \left[\vec u\, , \vec v\right].

Dans cet article, nous utiliserons la première convention.

Définitions alternatives

Comme produit de Lie

Toute isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie...) directe de R3 est une rotation vectorielle. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des isométries directes forme un groupe de Lie (En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c'est-à-dire que chaque...) classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL3(R)). Son algèbre de Lie (En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien...), notée so(3) est la sous-algèbre de Lie de gl3(R) définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.

Toute matrice antisymétrique (En algèbre linéaire, une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale...) M de taille 3 s'écrit de manière unique :

M=\begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \end{pmatrix}.

En identifiant (En informatique, on appelle identifiants (également appelé parfois en anglais login) les...) M et le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) (a, b, c), on définit un isomorphisme linéaire entre so(3) et R3. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R3 hérite d'une structure d'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) de Lie. Le crochet [u, v] de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de u et de v.

En effet, si u1=(a1, b1, c1), et u2=(a2, b2, c2), leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes M1 et M2 :

[M_1,M_2]=M_1M_2-M_2M_1=\begin{pmatrix} 0 & a_2b_1-a_1b_2 & a_2c_1-a_1c_2\\ a_1b_2 -a_2b_1 & 0 & b_2c_1-b_1c_2\\ a_1c_2-a_2c_1 & b_1c_2-b_2c_1 & 0 \end{pmatrix}

Le vecteur correspondant, à savoir [u1,u2], a donc pour coordonnées (b1c2-b2c1, a2c1-a1c2, a1b2-a2b1). Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.

Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par isométries

f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).

En tant qu'algèbres de Lie, so(3) a été identifié à R3. L'action (linéaire) de SO3(R) sur R3 s'identifie à l'action par conjugaison sur so(3). SO3(R) opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.

Comme produit de quaternions imaginaires

Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 4. Sa base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière...) est (1,i, j, k) où le sous-espace engendré par i, j, k forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec R3. Ces éléments vérifient :

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\, ;
ij=-ji=k\quad ;\quad jk=-kj=i\quad ;\quad ki=-ik=j.

Si q1=a1i+b1j+c1k et q2 = a2i+b2j+c2k, le produit q1q2 se calcule immédiatement :

q1q2 = − (a1a2 + b1b2 + c1c2) + (b1c2b2c1)i + (c1a2c2a1)j + (a1b2a2b1)k.

La partie réelle est au signe près le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) de q1 et de q2, la partie imaginaire est un quaternion (Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. L'ensemble des quaternions, noté ,...) pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec R3.

Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage (En mathématiques, le paramétrage est un des procédés fondamentaux de...) du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.

Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si q est un quaternion unitaire, et q1, q2 sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :

\left[qq_1\overline{q}\right].\left[qq_2\overline{q}\right]=q(q_1q_2)\overline{q}

pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.

Par le produit tensoriel (Tenseur)

Soient deux vecteurs à trois composantes ui et vj. On peut définir le tenseur (Tenseur)

u\otimes v =\begin{pmatrix} u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\ u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\ u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \\ \end{pmatrix}

qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement :

[u\otimes v]_{ij}= u_i\cdot v_j

Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou...) symétrique :

[u\odot v]_{ij}=u_i\cdot v_j + u_j\cdot v_i

qui a 6 composantes indépendantes, et l'autre complètement anti-symétrique :

[u\wedge v]_{ij}=u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i

qui a 3 composantes indépendantes. On peut alors « transformer » ce tenseur anti-symétrique en un vecteur à trois composantes en utilisant le symbole de Levi-Civita (Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur...) \varepsilon_{ijk} (ce dernier est un pseudo-tenseur dont la définition fait intervenir la métrique et l'orientation) :

z_k = \varepsilon_{ijk} \cdot (u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i )

(selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus). Le vecteur zk est le produit vectoriel de ui et vj.

On voit que si l'on échange les indices i et j, le signe change, ce qui illustre l'antisymétrie du produit vectoriel. En outre le résultat est un « pseudovecteur » puisqu'il est renversé si on change l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) de l'espace.

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