Propriétés métriques des droites et plans - Définition

Introduction

En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0)

La droite dans le plan euclidien

Vecteur normal à une droite

Soit M(x,y) un point de la droite D dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

et M₀(x₀,y₀) un point spécifique de D, On a :

En retranchant (2) à (1) on obtient :

En notant , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

La droite d'équation ux + vy + h = 0 est donc orthogonale au vecteur . Le vecteur est appelé un vecteur normal à la droite D

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

Soit un point M(x,y) et un vecteur non nul. Le point M appartient à la droite D, passant par M₀(x₀,y₀) et orthogonale à , si et seulement si  :

La droite D, passant par M₀(x₀,y₀) et orthogonale à , a donc pour équation : :

Distance algébrique d'un point M(x,y) à une droite d'équation ux + vy + h = 0

Soit H la projecté de M(x,y) sur D avec orthogonal à D.

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et D est donnée par :

En valeur absolue:

Droite et pente

Pour v non nul, la droite D d'équation ux + vy + h = 0 possède une équation sous la forme mx + b = y avec

et

La pente d'une droite est le réel

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite D.

Équation normale d'une droite

Dans le repère ,notons un vecteur unitaire normal à la droite D, orienté de O vers D, la valeur représente alors l'angle . On note d'autre part p la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

Angles de deux droites

Soit D et D' deux droites d'équations

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente:

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur orthogonal à un plan

Soit M(x,y,z) un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

Pour M₀(x₀,y₀,z₀) un point spécifique de P on obtient :

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

En notant , le vecteur de coordonnées (u,, v , w), on exprime (1bis) comme suit :

Le plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0 est donc orthogonal au vecteur et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

Soit un point et un vecteur non nul. Le point M appartient au plan P, passant par et orthogonal à , si et seulement si  :

Le plan P, passant par M₀(x₀,y₀,z₀) et orthogonal à , a donc pour équation : :

Distance algébrique d'un point M(x,y,z) à un plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0

Soit H la projeté de M(x,y,z) sur P avec orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur , on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

En valeur absolue:

Angles de deux plans

Soitent (P) et (P') deux plans d'équations

L'angle géométrique (P,P') est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux

Plans perpendiculaires

Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux et sont orthogonaux. Ce qui implique

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Soient un point M₀(x₀,y₀,z₀) et deux vecteurs et non colinéaires. Un point M (x, y, z) appartient au plan P passant par M₀(x₀,y₀,z₀) et de directions et si et seulement si il existe deux réels λ et μ tels que . Cette égalité exprime que sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

Son équation est :

que l'on peut écrire sous la forme ux + vy + wz + h = 0

Plan défini par deux points et un vecteur

Soient deux points M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂) et un vecteur non colinéaire à .

Le point M appartient au plan passant par M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂) et de direction si et seulement si les trois vecteurs : sont coplanaires, donc :

Son équation est :

Plan défini par trois points non alignés

Soient M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂),M₃(x₃,y₃,z₃), trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est