Relation ternaire interne - Définition

Propriétés

Soit un ensemble E muni d’une relation ternaire interne . Remarques :

• Les propriétés suivantes s’appliquent évidemment aussi aux lois de composition internes, mais sous une forme simplifiée par l'emploi d'une notation fonctionnelle (z = f ( x, y ) ou z = x y ).
• Attention : un couple peut très bien avoir plusieurs images par .
• La liste de propriétés qui suit n’est pas exhaustive.

Existence d’éléments remarquables

• est idempotente si et seulement si tout élément x de E est image par du couple ( x , x )

ou :

• est dévolutive si et seulement s’il existe un élément de E image par de tout couple de la diagonale de E

ou :

• est unifère à gauche si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la première composante a pour image par sa seconde composante

ou :

• est unifère à droite si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la seconde composante a pour image par sa première composante

ou :

• est unifère si et seulement si elle est unifère à gauche et à droite avec le même élément neutre.

• est absorbante à gauche si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la première composante l’a pour image par

ou :

• est absorbante à droite si et seulement s’il existe un élément de E tel que tout couple dont il est la seconde composante l’a pour image par

ou :

• est absorbante si et seulement si elle est absorbante à gauche et à droite avec le même élément absorbant.

• est involutive à gauche si et seulement si elle est dévolutive et unifère à gauche avec l’élément dévolutif pour élément neutre.

• est involutive à droite si et seulement si elle est dévolutive et unifère à droite avec l’élément dévolutif pour élément neutre.

• est involutive si et seulement si elle est involutive à gauche et à droite avec le même élément involutif.

• est nilpotente à gauche si et seulement si elle est dévolutive et absorbante à gauche avec l’élément dévolutif pour élément absorbant.

• est nilpotente à droite si et seulement si elle est dévolutive et absorbante à droite avec l’élément dévolutif pour élément absorbant.

• est nilpotente si et seulement si elle est nilpotente à gauche et à droite avec le même élément nilpotent.

Régularité et propriétés apparentées

• est régulière à gauche si et seulement si pour toute paire de couples distincts d’éléments de E de même première composante, les deux couples n’ont pas d’image commune par

ou :

• est régulière à droite si et seulement si pour toute paire de couples distincts d'éléments de E de même seconde composante, les deux couples n'ont pas d'image commune par

ou :

• est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et à droite.

• est antirégulière si et seulement si pour toute paire de couples non réciproques d'éléments de E dont la première composante de l'un est égale à la seconde composante de l'autre, les deux couples n'ont pas d'image commune par

ou :

Associativité et propriétés analogues

• est associative si et seulement si elle vérifie la propriété suivante :

• est associative des puissances si et seulement si elle vérifie la propriété suivante :

• est permutative si et seulement si elle vérifie la propriété suivante :

Autres propriétés

• est commutative si et seulement si toute image par d'un couple est aussi image du couple réciproque

ou :

Remarque : toute relation ternaire interne commutative est aussi associative des puissances.

Exemples

• la relation d'équidistance est commutative, dévolutive et idempotente;

• l'exponentiation est unifère à droite, mais pas à gauche, d'élément neutre 1; elle est absorbante à gauche, mais pas à droite, d'élément absorbant 1; elle est régulière à droite, mais pas à gauche;

• la relation "sont respectivement père et mère de" est régulière;

• la relation de concaténation des mots est associative, unifère d'élément neutre le mot vide "", et régulière;