Relation ternaire interne - Définition

Relations ternaires inverses

Présentation

Inverser une relation, c'est en quelque sorte en "inverser" les effets : par exemple, inverser une addition, où on a ajouté quelque chose, c'est retrancher de la somme ce qui a été ajouté, donc effectuer une soustraction. Il s'agit donc essentiellement de changer l'ordre des termes impliqués dans la relation.

De manière plus précise, inverser une relation, c'est permuter les composantes des n-uplets de son graphe, de la même manière pour tous les n-uplets, de sorte que les dernières composantes (les images), en deviennent les premières composantes.

Pour une relation binaire, dont les éléments du graphe sont des couples, cela revient à permuter les deux composantes de chacun de ces couples, c'est-à-dire à remplacer chaque couple par son réciproque; en résumé, la relation inverse d'une relation binaire n'est autre que sa relation réciproque.

Pour une relation ternaire, dont les éléments du graphe sont des triplets, inverser cette relation revient à permuter les composantes de ces triplets de sorte que la dernière composante devienne la première. Il reste deux façons de disposer les deux autres composantes, d'où a priori deux relations inverses. On appellera l'une relation inverse à gauche et l'autre relation inverse à droite.

Pour une relation n-aire, on dénombre ainsi (n - 1)! relations inverses a priori distinctes. On peut remarquer que toutes ces relations inverses sont de même arité intrinsèque que la relation qui leur a donné naissance.

Définitions et exemples

Soit un ensemble E muni d'une relation ternaire interne .

La relation ternaire inverse à gauche ( ou RTIG) de la relation est la relation ternaire interne notée «   » , et définie par :

La relation ternaire inverse à droite ( ou RTID) de la relation est la relation ternaire interne notée «   » ou «   », et définie par :

Pour clarifier ces notions reprenons l'exemple de l'exponentiation Exp.

• Sa RTIG est définie par : z = x ^1/y ; autrement dit, c'est la racine y-ième de x;
• Sa RTID est définie par : z = log _y x ; autrement dit, c'est le logarithme en base y de x.

Si est commutative, sa RTIG et sa RTID se confondent en une seule relation ternaire inverse (RTI) notée «   ».

Exemples :

• la soustraction est la RTI de l'addition;
• la division est la RTI de la multiplication;

Ces exemples montrent qu'en général les RTI ne sont pas commutatives; sauf exception, elles n'ont donc pas elles-mêmes de RTI, seulement une RTIG et une RTID distinctes, la RTIG n'étant autre que la relation ternaire initiale, et la RTID l'opposée de la RTI.

Ainsi, la soustraction, non commutative, a pour RTIG l'addition et pour RTID la relation opposée à la soustraction. Cette dernière, par ailleurs, a pour RTID l'addition et pour RTIG la soustraction.

Propriétés

• Toute relation ternaire interne est la RTIG de sa RTIG, et la RTID de la RTID de sa RTID.

• La RTIG de l'opposée d'une relation ternaire est la RTID de cette dernière.

• La RTID de l'opposée d'une relation ternaire est la RTIG de cette dernière.

• La RTID de la RTIG d'une relation ternaire interne est la relation opposée à sa RTID.

• La RTID de la RTID d'une relation ternaire interne est la relation opposée à sa RTIG.

Dans les propriétés précédentes, des symétries apparaissent. Plus précisément, il est possible d'importer sur l'ensemble la structure du groupe des permutations à 3 éléments ( joue alors le rôle de l'élément neutre ).

• est régulière à gauche si et seulement si sa RTIG est une opération interne.

• est régulière à droite si et seulement si sa RTID est une opération interne.

• Si est commutative, alors elle est régulière si et seulement si sa RTI est une opération interne.

• Si est commutative, unifère et inversible, alors sa RTI est une loi de composition interne.

• est dévolutive si et seulement si sa RTIG est unifère à gauche , et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID l'est aussi.

• est unifère à gauche si et seulement si sa RTIG est dévolutive, et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID est unifère à droite.

• est unifère à droite si et seulement si sa RTIG est unifère à droite, et cette RTIG l'est si et seulement si la RTID est dévolutive.

• Si est commutative, alors elle est unifère si et seulement si sa RTI est dévolutive et unifère à droite, c'est-à-dire involutive à droite.

• est permutative si et seulement si sa RTIG l'est aussi, et cette RTIG est permutative si et seulement si la RTID l'est aussi.

Exemples :

• ( , + ) est un semigroupe; par conséquent, la soustraction est dans une opération interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 0;
• de même, ( *, x ) est un semigroupe, d'où la division dans * est une opération interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 1;
• ( , + ) est un groupe abélien; par conséquent, la soustraction est dans une loi interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 0, c'est-à-dire que ( , - ) est un antigroupe;
• de même, ( *, x ) est un groupe abélien, d'où la division dans * est une loi interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément neutre 1, c'est-à-dire que ( *, / ) est aussi un antigroupe.