Algèbre |
Logique |
Arithmétique |
Probabilités |
Statistiques |
Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations faisant appel aux mêmes inconnues.
Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent le plus souvent de plusieurs paramètres. Pour les modéliser, on utilise en mathématiques les systèmes d'équations à plusieurs inconnues. Un problème mathématique comportant moins d'équations que d'inconnues a une infinité de solutions.
L'équation a une infinité de solutions. Si je prends pour la valeur , j'obtiens :
Plus généralement, si est un nombre quelconque, doit absolument valoir
Celle-ci va nous permettre d'établir des théorèmes utiles pour la suite.
Chaque équation du système
définit une fonction affine, et est donc représentée par une droite dans un repère.Or :
D'où le théorème suivant :
Théorème 1 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues a :
On démontre aussi le théorème suivant (en se reportant plus haut pour les notations) :
Théorème 2 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues admet une seule solution si, et seulement si, le nombre est non nul, c'est-à-dire : .
On appelle le déterminant du système (S).
Exemple de résolution graphique : Soit le système : .
La première équation équivaut à (voir plus haut).
La deuxième équation équivaut à :
En traçant les droites d'équations respectives et , on voit que leur point d' intersection est .La solution (approximative) du système est et .
Il existe deux méthodes a priori différentes, mais qui reposent sur le même principe de base : élimination d'une inconnue. Détaillons-les sur un exemple.
Exemple : Reprenons le système : .
Exprimons en fonction de dans la première équation. On obtient . Remplaçons donc par dans la deuxième équation. On a :
Or, . Donc on obtient : .
La solution du système est le couple .
Cette méthode est aussi appelée "méthode par addition" ou "par combinaison linéaire".
Exemple : Reprenons le système :
.
Pour éliminer
, multiplions la deuxième ligne par
et additionnons les deux lignes ainsi obtenues. On a :
puis
et l'addition donne :
. En résolvant cette équation, on obtient
.
Remplaçons par dans la première ligne. On obtient :
On retrouve la solution
D'une manière générale, pour un système sous la forme : , pour lequel le déterminant est non nul, on a et .
Le déterminant étant non nul, l'un au moins des coefficients a ou b est non nul. On peut, sans perdre de généralité, supposer que a est non nul. Sinon, on effectue un raisonnement analogue en divisant par b.
On a :
La première équation est donc :
Et la seconde équation donne :
La première équation s'écrit alors :