Tenseur (mathématiques) - Définition

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- Introduction - Principe général - Tenseurs et produit tensoriel sur les éléments - Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimensions finies - Permutation d'indices - Opération de contraction - Cas des espaces (pseudo)-euclidiens - Algèbre des tenseurs - Calcul pratique

Calcul pratique

La manipulation effective des tenseurs nécessite généralement de les représenter dans des bases particulières (mais néanmoins arbitraires).

Soit $(e_1, e_2, \cdots, e_n)$ une base de $E$ . On notera $(e 1, e 2,... e n)$ sa base duale. Alors tout tenseur $T$ de $\mathcal{T}^k_l E$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire de type : $T = \sum_{i_1,\cdots,i_k} \sum_{j_1,\cdots,j_l} T^{i_1\cdots i_k}{}_{j_1\cdots j_l} \cdot e_{i_1} \otimes \cdots \otimes e_{i_k} \otimes e^{j_1} \otimes \cdots \otimes e^{j_l}$ Si la base est précisée par avance la donne des scalaires $T^{i_1 \cdots i_k}{}_{j_1 \cdots j_l}$ caractérise entièrement le tenseur. Ils représentent les coordonnées du tenseur $T$ dans la base considérée. L'ensemble des conventions d'utilisation des coordonnées des tenseurs est appelé convention d'Einstein.

Il est possible de mélanger indices covariants et contravariants. Les indices contravariants sont notés en indices supérieurs, les indices covariants en indices inférieurs. Ainsi $\Delta \in E^* \otimes E^* \otimes E \otimes E^* \otimes E^* \otimes E$ se décompose dans une base donnée avec les composants $Δ i j k l m n$ .

Liens entre les notations

On se donne les tenseurs suivant :

Scalaires : $\lambda \in \mathbb{K}, \mu \in \mathbb{K}, \nu \in \mathbb{K}$
Vecteurs : $u \in E, v \in E, w \in E$
Covecteurs (formes linéaires) : $\phi \in E^*, \psi \in E^*, \chi \in E^*$
Tenseurs d'ordre 2 :

$T \in E^* \otimes E$
$S \in E^* \otimes E^*$
$R \in E \otimes E^*$
$Q \in E^* \otimes E^*$
$P \in E \otimes E$
$O \in E \otimes E^*$

Tenseurs d'ordre 3 et plus :

$\Omega \in E^* \otimes E^* \otimes E$
$\Phi \in E \otimes E \otimes E^*$
$\Delta \in E^* \otimes E^* \otimes E \otimes E^* \otimes E^* \otimes E$
$\Gamma \in E \otimes E^* \otimes E^* \otimes E \otimes E^* \otimes E^*$

On choisit par ailleurs une base $(e_1, e_2, \cdots )$ dans $E$ . Ce choix induit naturellement celui de la base duale $(e^1, e^2, \cdots )$ dans $E *$ . Les tenseurs précédemment définis admettent alors une seule décomposition dans ces bases.

Notation des opérations dans les espaces de dimension finie
Propriétés	Notation standard	Convention d'Einstein
Produit tensoriel	$T = \phi \otimes u$	$T_i{}^j = \phi_i \; u^j$
	$\Delta = S \otimes v \otimes \Omega$	$\Delta_{ij}{}^k{}_{lm}{}^n = S_{ij} \; v^k \; \Omega_{lm}{}^n$
	$R + v \otimes \chi = O$	$R^i{}_j + v^i \; \chi_j = O^i{}_j$
Produit contracté	$\lambda = \phi \odot u = \phi \; \bar\otimes \; u$	$\lambda = \phi_m \; u^m$
Produit contracté	$v \odot \Omega \odot \phi = \lambda \cdot S \odot P \odot \chi + \psi$	$v^m \; \Omega_{mi}{}^n \; \phi_n = \lambda \; S_{ip} \; P^{pq} \; \chi_q + \psi_i$
Contraction	$μ = tr 12 (T)$	$μ = T m m$
Contraction	$tr 13 (Φ) = w$	$Φ m i m = w i$
Permutation d'indices	$T = τ (12) (R) = t R$	$T_i{\;}^j = R^j{}_i$
Permutation d'indices	$Γ = τ (123)(46) (Δ)$	$Γ i j k l m n = Δ j k i n m l$
Mélange	$\mathrm{tr}_{26}(\Delta) \; \bar\bar\otimes \; \Phi + \tau_{(23)}(\Omega) = \chi \otimes P \odot Q$	$\Delta_{im}{}^j{}_{np}{}^m \; \Phi^{pn}{}_k + \Omega_{ik}{}^j = \chi_i \; P^{jq} \; Q_{qk}$

Liens entre les notations dans le cas (pseudo-)euclidien

On considère par ailleurs l'existence du (pseudo-)produit scalaire $g \in E^* \otimes E^*$ .

Notation des opérations dans les espaces euclidiens
Propriétés	Notation standard	Convention d'Einstein
Produit contracté	$\nu = u \odot v$	$\nu = u^m \; g_{mn} \; v^n$
Produit contracté	$u = P \odot w$	$u^i = P^{im} \; g_{mn} \; w^n$
Contraction	$φ = tr 12 (Φ)$	$\phi_i = g_{mn} \; \Phi^{nm}{}_i$

A propos des changements de base

On notera que seule la convention d'Einstein admet des formules de changement de base. En effet, puisqu'elle prend le parti de représenter un tenseur par un jeu de coordonnées dans une base (voire plusieurs bases) prédéfinie, il existe des formules pour déterminer les coordonnées d'un même tenseur dans une nouvelle base ( comme $\hat{\Omega}_{lm}{}^n = \alpha_l{}^i \; \alpha_m{}^j \; \beta^n{}_k \; \Omega_{ij}{}^k$ ). La notation standard étant par définition indépendante d'un choix de base, elle n'admet pas d'équivalents pour ces formules.

Algèbre des tenseurs

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