Tenseur (mathématiques) - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Principe général - Tenseurs et produit tensoriel sur les éléments - Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimensions finies - Permutation d'indices - Opération de contraction - Cas des espaces (pseudo)-euclidiens - Algèbre des tenseurs - Calcul pratique

Introduction

Articles scientifiques
sur les tenseurs

Généralités

Tenseur

Mathématiques

Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre tensorielle
Champ tensoriel
Espace tensoriel

Physique

Convention d'Einstein
Tenseur métrique
Tenseur énergie-impulsion
Tenseur de Riemann
... de Ricci
... d'Einstein
... de Weyl
... de Levi-Civita
... de Killing
... de Killing-Yano
... de Bel-Robinson
... de Cotton-York
Tenseur électromagnétique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations

Principe général

Le principe est de généraliser les notions de scalaires et de vecteurs de dimensions finies. Les tenseurs d'un type donné se comportent eux-mêmes comme des vecteurs :

ils possèdent une addition et un produit par les scalaires ;
ils sont indépendants d'un choix de bases mais peuvent être représentés par des tableaux à plusieurs entrées pour un choix de bases donnée.

À ceci s'ajoute deux opérations : un produit, dit tensoriel, permettant de multiplier deux tenseurs (éventuellement de natures distinctes) ainsi qu'une application linéaire qui réduit leur taille appelée contraction.

Comme évoqué ci-dessus les scalaires et les vecteurs constituent des exemples simples de tenseurs. Dans une base donnée un vecteur (tenseur d'ordre 1) peut être représenté par la donne d'un $n$ -uplet de coordonnées. Les matrices $n \times n$ - qui peuvent représenter suivant les cas des endomorphismes, des bivecteurs ou encore des formes bilinéaires - forment une extension des $n$ -uplets similaire à l'extension que représente les $n$ -uplets par rapport aux scalaires. Les objets descriptibles par des matrices constituent donc les premiers types de tenseurs non triviaux, appelés tenseurs d'ordre 2. En prolongeant la réflexion on peut imaginer, toujours de manière informelle, des matrices cubiques $n \times n \times n$ , correspondant aux tenseurs d'ordre 3, et ainsi de suite.

Les deux opérations classiques de la manipulation des tenseurs peuvent être intuitivement illustrés par certaines opérations matricielles. Il est en effet connu qu'en multipliant une matrice colonne par une matrice ligne (c'est-à-dire deux $n$ -uplets) on obtient une matrice carrée (ou rectangulaire si les opérandes n'ont pas la même dimension). Il existe donc des transformations permettant d'augmenter l'ordre des tenseurs. Cette idée est à la base du produit tensoriel.

À l'inverse, le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne se réduit à un scalaire. On voit ici apparaître l'idée de contraction.

Tenseurs et produit tensoriel sur les éléments

L'intérêt premier du produit tensoriel est de définir une opération sur les vecteurs (ou plus généralement les éléments des modules) ayant des propriétés similaires à celle d'un produit. Cela dit, contrairement aux produits habituels, le produit tensoriel n'est pas une opération interne : il peut s'effectuer sur des vecteurs issus d'espaces vectoriels différents et son résultat (à quelques exceptions prés) n'appartient à aucun des espaces en question. Les éléments intervenant dans de tels produits portent le nom de tenseurs.

Définition

Soit $\phi \in E^*$ et $\psi \in F^*$ deux formes linéaires. On notera $\phi \otimes \psi$ l'application définie par :

Il s'agit d'une forme bilinéaire : on a donc $\phi \otimes \psi \in E^* \otimes F^*$ . Le produit se généralise facilement aux formes multilinéaires.

Comme en dimension finie $E = E * *$ , tout vecteur $u$ (respectivement $v$ ) peut être assimilé à une forme linéaire sur $E *$ (respectivement $F *$ ). On définit ainsi de manière générale le produit tensoriel de $u$ et $v$ , noté $u \otimes v$ , comme forme bilinéaire sur $E^* \times F^*$ .

La forme bilinéraire $\phi \otimes \psi$ est donc un tenseur appartenant à $E^* \otimes F^*$ . La forme bilinéaire $u \otimes v$ est quant à elle un tenseur appartenant à $E \otimes F$ . Les tenseurs peuvent donc être définis (en dimension finie) comme des formes multilinéaires munis d'un produit $\otimes$ .

Tenseur (mathématiques) - Définition

Introduction

Principe général

Tenseurs et produit tensoriel sur les éléments

Définition

Remarques

Propriétés du produit tensoriel