Tenseur (mathématiques) - Définition

Cas des espaces (pseudo)-euclidiens

Dans un espace euclidien (ou pseudo-euclidien) E, l'existence d'un produit scalaire réel g (respectivement d'un pseudo-produit scalaire ; c'est-à-dire d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée) fournit des propriétés particulières aux tenseurs. Celui-ci permet en effet d'établir un isomorphisme canonique associant une unique forme linéaire à tout vecteur :

Le (pseudo-)produit scalaire sur E définit en outre naturellement un (pseudo-)produit scalaire sur E ^* . Il s'agit de l'unique élément de , qu'on peut noter g ^* , vérifiant pour tout , et pour tout , . L'isomorphisme m_g a pour réciproque .

Assimilation avec le dual

Via l'isomorphisme m_g on peut alors assimiler tout élément de E ^* à un élément de E : . D'une manière générale, cela permet de ne plus distinguer les indices contravariants et covariants. Dans ces conditions, un tenseur de type (k,l) peut être aussi bien vu comme un tenseur (k + l,0) que (0,k + l). L'ordre k + l devient alors une caractéristique suffisante pour catégoriser tout tenseur construit sur E.

Propriétés

Correspondance entre produits scalaire et contracté 

Il devient possible de contracter deux vecteurs de E. Cette contraction s'identifie au produit scalaire :

Contractions sur des indices quelconques 

On peut maintenant contracter deux indices correspondant au même espace (pseudo-)euclidien E par utilisation implicite du produit scalaire :

A propos des espaces hermitiens 

Un produit scalaire hermitien n'est pas un tenseur : il n'est en effet que semi-linéaire par rapport à sa première variable. De fait, les propriétés énoncées ci-dessus ne s'appliquent pas dans le cadre des espaces hermitiens.

Algèbre des tenseurs

Définition

Etant donné un espace vectoriel de dimension finie E on appelle tenseur sur E k fois contravariant et l fois covariant (ou tenseur (k,l)) tout élément de . k et l sont les variances de ce type de tenseur, k + l est leur ordre (ou rang). Les tenseurs de type (k,l) forment un espace vectoriel. On fixe les notations :

L'algèbre des tenseurs de E notée est définie suivant les auteurs, soit comme la somme directe des espaces des tenseurs contravariants, soit comme la somme directe des espaces des tenseurs à la fois contravariants et covariants. Afin de distinguer ces deux cas, on adopte les notations suivantes (non conventionnelles) :

Les algébres et sont des algèbres sur le corps . Ce sont même des algébres graduées sur respectivement et  ; toutes deux de dimension infinie.

L'algèbre extérieure sur E notée ΛE possède des liens privilégiés avec l'algèbre du fait d'une possible injection des espaces Λ^kE dans .

Elements

• L'algèbre tensorielle est surtout définie afin de donner une structure générale à l'ensemble des tenseurs. Ceci necessite de prolonger l'addition qui n'est a priori pas définie entre les éléments de et de si . Il faut pour cela introduire des éléments supplémentaires. Ainsi en considérant par exemple le cas de , un élément est formellement une suite telle que et, par définition des sommes directes, dont seul un nombre fini d'éléments est non nul. Néanmoins en physique et dans beaucoup d'applications seuls les éléments appartenant à des sous-espaces de type ou sont pris en considération (ce sont les seuls pour lesquels les notions d'ordre et de variance ont un sens). Ils sont parfois appelés éléments homogènes de l'algèbre graduée.

• Les éléments de (avec k > 0) sont généralement appelés tenseurs contravariants, ceux de (avec l > 0) tenseurs covariants et ceux de (avec (k,l) > 0) tenseurs mixtes.

• En toute rigueur, l'algèbre n'offre a priori pas de liberté quant à l'ordre des indices covariants et contravariants. Elle ne contient par exemple pas l'espace . Néanmoins on convient généralement qu'un tel espace est, si nécessaire, assimilé à par permutation des indices (les indices contravariants sont décalés vers l'avant au besoin) :

Cette permutation permet d'affirmer que le produit tensoriel est bien une opération interne à .

Propriétés

Ordre 

Si S et T sont des tenseurs respectivement (k₁,l₁) et (k₂,l₂) sur E, alors est (sous réserve de permutation des indices) un tenseur (k₁ + k₂,l₁ + l₂).

Un produit contracté (sur des indices à préciser) est un tenseur (k₁ + k₂ − 1,l₁ + l₂ − 1). D'une manière générale toute opération de contraction diminue la covariance et la contravariance de 1. Elle réduit donc l'ordre de 2.

Trace des endomorphismes 

Un endomorphisme de E peut être vue comme un élément , autrement dit un tenseur (1,1). La trace de cet endomorphisme vaut tr(T) = tr₁₂(T) ; c'est-à-dire le résultat de la contraction de T par rapport à ses deux indices.

Symétrie et antisymétrie 

Soit un tenseur T de et deux indices i et j correspondant au même espace vectoriel (c'est-à-dire soit E soit E ^* pour les deux indices).

On dit que T est symétrique par rapport aux indices i et j si τ_(ij)T = T .

On dit que T est antisymétrique par rapport aux indices i et j si τ_(ij)T = − T .

On dit que T est totalement symétrique s'il est symétrique pour tout couple d'indice. Il faut donc pour cela qu'il appartienne à ou .

On dit que T est totalement antisymétrique s'il est antisymétrique pour tout couple d'indice. Là encore, l'espace doit être ou .

Produit scalaire 

Un produit scalaire réel sur un espace E de dimension finie sur est un cas particulier de tenseur (0,2) symétrique qu'on peut noter g. Il est par ailleurs défini et positif. On a donc :