Base duale - Définition

Introduction

En algèbre linéaire, la base duale est une base de l'espace dual d'un espace vectoriel E de dimension finie, construite à partir d'une base de E. Il est rappelé que l'espace dual de E, noté E ^* est l'espace des formes linéaires sur E. La réduction des formes quadratiques est un exemple dans lequel les bases duales peuvent intervenir. Elles interviennent aussi pour transporter des structures géométriques d'un espace vectoriel réel ou complexe sur son espace dual, ce qui intervient notamment en géométrie différentielle.

Définition

Soit E un espace vectoriel sur un corps K de dimension finie n. Soit une base de E (famille libre et génératrice). Comme est une famille génératrice, tout vecteur v de E s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs e_i :

où est un scalaire, un élément du corps K. L'application est une forme linéaire sur E. L'application peut aussi étre définie comme l'unique forme linéaire sur E vérifiant, pour tout entiers j entre 1 et n, où δ_ij vaut 1 ou 0 suivant que i et j sont égaux ou non. La famille forme une base de l'espace dual E ^* , appelée la base duale de . De plus, toute forme linéaire u sur E s'écrit :

(1).

Cette construction suffit à montrer qu'un espace vectoriel et son dual ont la même dimension.

Base duale de la base duale

Il existe une injection naturelle de E dans le bidual de E (= dual du dual de E), donné par l'évalutation des formes linéaires en les vecteurs :

ι(v)(λ) = λ(v).

Comme E, E^* et E^** ont même dimesion, cette application linéaire injective est un isomorphisme. Une autre manière d'obtenir ce résultat est la suivante. Soit la base duale de . L'équation (1) se traduit par :

.

Changement de bases

Soit une seconde base de E, qui admet une base duae notée . La matrice de passage de à est la matrice M donnée par les coefficients . L'équation (1) donne

L'application de M au n-uplet des coordonnées d'un vecteur v dans la base donne le n-uplet des coordonnées de v dans . Explicitement,

.

Si M ^{− 1} = (M^ij) désigne l'inverse de la matrice M et ses coefficients, alors M ^{− 1} est la matrice de passage de la base duale à , ce qui signifie

.

Applications

Réduction de Gauss

Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel réel E. Alors il existe une base de E, telle que

où est la base duale de .

L'esapce vectoriel est le noyau de q. Les entiers r et s ne dépendent pas du choix de la base e, et le couple (r,s) s'appelle la signature de q.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau