Équation de Helmholtz - Définition et Explications

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L'équation de Helmholtz (d'après le physicien Hermann von Helmholtz) est une équation aux dérivées partielles elliptique qui apparaît lorsque l'on cherche des solutions stationnaires de l'équation de propagation des ondes de d'Alembert, appelées " modes propres ", sur un domaine \Omega \subset \mathbb{R}^n :

\forall \vec{r} \in \Omega, \quad (\Delta \ + \ k^2) \ \phi(\vec{r}) \ = \ (\nabla^2 \ + \ k^2) \ \phi(\vec{r}) \ = \ 0

Pour que le problème mathématique soit bien posé, il faut spécifier une condition aux limites sur le bord \partial \Omega du domaine, typiquement :

  • soit la condition de Dirichlet (le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) est nul sur le bord),
  • soit la condition de Neumann (la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) normale du champ scalaire est nulle sur le bord).

Lorsque le domaine Ω est compact, le spectre du Laplacien est discret, et les modes propres forment un ensemble dénombrable (En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque...) infini :

\forall \vec{r} \in \Omega, \quad (\Delta \ + \ k_n^2) \ \phi_n(\vec{r}) \ = \ 0, \qquad (0 \le k_0^2 \le k_1^2 \le k_2^2 \le \dots \le + \infty)

L'équation de Helmholtz (L'équation de Helmholtz (d'après le physicien Hermann von Helmholtz) est une équation aux...) se généralise en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) non-euclidienne en remplaçant le Laplacien par l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) de Laplace-Beltrami sur une variété riemannienne.

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