Système duodécimal
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Le système duodécimal est un système de numération de base 12.

En base 12, on utilise les 10 chiffres de 0 à 9, suivis les lettres A et B, respectivement pour 10 et 11. On utilise parfois aussi à la place de ces dernières, respectivement, les lettres α (alpha minuscule) et β (bêta minuscule), ou bien T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven), ou encore X (chiffre romain) pour dix.

Il existe deux organismes la Dozenal Society of America et la Dozenal Society of Great Britain qui font la promotion du système duodécimal (Le système duodécimal est un système de numération de base 12.) en affirmant qu'un système en base 12 est meilleur que le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.) tant d'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) mathématique que pour d'autres cotés pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des facteurs de 12, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé au facteur 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

L'utilisation d'un système en base 12 n'est pas courant, pourtant il existe un exemple pratique utilisé dans le langage du Népal. Dans le passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une échelle des temps centrée sur le présent. L'intuition du...), les romains, malgré le décompte en base 10, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions.

Historiquement le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) 12 a été utilisé par de nombreux peuples. Il est reconnu que l'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très grande...) des 12 phases de pleine lune (La pleine Lune est la phase lunaire durant laquelle la Lune apparaît la plus brillante depuis la Terre, de par le fait que nous voyons, lors de cette phase, presque toute la surface lunaire...) dans une année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) explique l'universalité de ce nombre dans toute les cultures. Des exemples de cet usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) sont les 12 mois (Le mois (Du lat. mensis «mois», et anciennement au plur. «menstrues») est une période de temps arbitraire.) de l'année, les 12 heures (L'heure est une unité de mesure  :) d'une montre, les 12 divisions traditionnelles du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) dans une journée en Chine, les 12 signes du zodiaque (Le zodiaque est la zone du ciel autour de l'écliptique où, vus depuis la Terre, le Soleil, la Lune et les planètes du système...) de l'astrologie (L‘astrologie est l'ensemble des systèmes de croyances organisés en vue d'obtenir des renseignements sur les phénomènes terrestres à partir de...), les 12 signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Dans de nombreux langages européens, tel l'anglais, le français, et l'allemand, l'usage de noms spéciaux pour 11 et 12 plutôt que leur nom représenté par le système décimal (douze, twelve) peut faciliter le comptage en base 12. Il est beaucoup utilisé dans le commerce (douzaine, grosse...).

En ayant l'avantage d'être un diviseur (En mathématiques, un nombre entier d est un diviseur d'un entier n lorsque la division euclidienne de n par d donne un reste égal à zéro. Autrement dit, il existe un entier q...) simple dans les fractions peut expliquer pourquoi les Britanniques utilisent 12 pouces dans un pied, 12 onces dans un pound, 12 penny dans un shilling, 12 pièces dans une douzaine, 12 douzaines dans une grosse, 12 grosses dans une grande grosse, etc.

Duodécimal Equivalent en décimal
10 : douze (ou une douzaine) 12
100 : une grosse 122 = 144
1 000 une grande grosse 123 = 1 728
10 000 douze grande grosse 124 = 20 736
100 000 125 = 248 832
1 000 000 126 = 2 985 984
0,1 1/12
0,01 1/144
 
 15  une douzaine et cinq 
 3E  trois douzaines et onze 
 XE7  dix grosses onze douzaines et sept 
 11E0  une grande grosse une grosse onze douzaines (= l'année 2004) 
 36 X17  trois douzaines et six grandes grosses dix grosses une douzaine et sept 
 

Fractions

Le système duodécimal a l'avantage d'avoir des résultats de fractions très simples :

1 / 2 = 0,6
1 / 3 = 0,4
1 / 4 = 0,3
1 / 6 = 0,2
1 / 8 = 0,16
1 / 9 = 0,14

ou compliqués (X = dix, E = onze) :

1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25)
1 / 7 = 0,186X35 186X35 avec chiffres périodiques
1 / X = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125)

Comme expliqué dans les décimales répétitives, chaque fois qu'une fraction est écrite en notation décimale, quel que soit sa base, la fraction peut être exprimée exactement, si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des nombres premiers de la base adoptée.

Ainsi, en base 10 (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

\frac{1}{8} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2},
\frac{1}{20} = \frac{1}{2 \times 2 \times 5},

et

\frac{1}{500} = \frac{1}{2^2 \times 5^3}\,

peuvent être exprimées exactement sous forme décimale comme 0,125, 0,05, et 0,005 respectivement. Cependant,

\frac{1}{3} et \frac{1}{7}

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

Dans le système duodécimal (= 2×2×3),

1 / 8 est exact ;
1 / 20 et 1 / 500 ont des décimales périodiques parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;
1 / 3 est exact ;
1 / 7 est périodique, comme en base 10.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie (La vie est le nom donné :) que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé. Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les 12 mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs.

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