Jauge de Lorenz - Définition et Explications

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La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois Ludwig Lorenz (elle est souvent attribuée, à tort, au physicien Hendrik Lorentz probablement car celle-ci est invariante sous les transformations de Lorentz). L'introduction d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par...) permet de caractériser le potentiel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) A qui n'est pas défini de manière unique à partir du champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux...). Cette jauge particulière s'est avérée pratique et permet une description totalement relativiste de l'électrodynamique : le potentiel scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) et le potentiel vecteur seront les composantes du quadri-vecteur potentiel.

L'équation est la suivante :

\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} = 0

En statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut...) elle s'écrit \vec{\nabla}.\vec{A} = 0, on l'appelle alors jauge de Coulomb.

Son origine provient du fait que disposant des équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...), on montre que la propagation des champs \vec{E} et \vec{B} dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) vérifie l'équation de d'Alembert (voir établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell).

Dans cette jauge, on peut montrer que le potentiel scalaire V vérifie lui aussi l'équation de d'Alembert.

Maxwell-Gauss dans le vide s'écrit : \vec{\nabla}.\vec{E}=0

or avec Maxwell-Faraday :

\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{A})

donc \vec{\nabla} \times (\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = \vec{0}

donc \vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} est un gradient et donc pour être cohérent avec l'expression en statique \vec{E}=- \vec{\nabla}V, il faut :

\vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

L'équation de Maxwell-Gauss devient alors :

\vec{\nabla}.(- \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0

donc - \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}.\vec{A})-\vec{\nabla}.(\vec{\nabla}V)=0

Il faut donc poser \vec{\nabla}.\vec{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} (c'est la jauge de Lorenz (La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois...)) pour avoir :

\vec{\nabla}^{2}V-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}}=0

De plus, on constate que cette jauge permet aussi au champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) \vec{A} de vérifier l'équation de d'Alembert. Il suffit d'écrire que :

\vec{rot}(\vec{rot}\vec{A})=\vec{grad}(div \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}

or \vec{rot}\vec{A}=\vec{B}

alors avec Maxwell-Ampère dans le vide (donc le vecteur densité de courant (On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit un vecteur élément de...) \vec{j} )est nul:

\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{grad}(div \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}

or on a toujours : \vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

donc \vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=\vec{grad}(\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t})

par conséquent avec la jauge de Lorenz \vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} = 0, \vec{A} de vérifie l'équation de d'Alembert :

\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=0

La jauge de Lorenz est donc la condition sur les potentiels (vecteur et scalaire) pour qu'ils se déplacent de la même manière que les champs \vec{E} et \vec{B}.

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