🔎 Jauge de Lorenz : définition et explications

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Lundi 16 Décembre 2019

Jauge de Lorenz

vecteur densité de courant équations de maxwell densité de courant électromagnétisme

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La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois Ludwig Lorenz (elle est souvent attribuée, à tort, au physicien Hendrik Lorentz probablement car celle-ci est invariante sous les transformations de Lorentz). L'introduction d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) de jauge ( En tant qu'instrument de mesure : Une jauge est un instrument de mesure. On trouve par exemple : La jauge de contrainte, traduisant un effort mécanique en résistance électrique, La jauge Hibernia...) permet de caractériser le potentiel vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) A qui n'est pas défini de manière unique à partir du champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction,...). Cette jauge particulière s'est avérée pratique et permet une description totalement relativiste de l'électrodynamique : le potentiel scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre...) et le potentiel vecteur seront les composantes du quadri-vecteur potentiel.

L'équation est la suivante :

$\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} = 0$

En statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) elle s'écrit $\vec{\nabla}.\vec{A} = 0$ , on l'appelle alors jauge de Coulomb.

Son origine provient du fait que disposant des équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois fondamentales de la physique. Elles constituent les postulats de...), on montre que la propagation des champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ dans le vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) vérifie l'équation de d'Alembert (voir établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell).

Dans cette jauge, on peut montrer que le potentiel scalaire $V$ vérifie lui aussi l'équation de d'Alembert.

Maxwell-Gauss dans le vide s'écrit : $\vec{\nabla}.\vec{E}=0$

or avec Maxwell-Faraday :

$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{A})$

donc $\vec{\nabla} \times (\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = \vec{0}$

donc $\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ est un gradient et donc pour être cohérent avec l'expression en statique $\vec{E}=- \vec{\nabla}V$ , il faut :

$\vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

L'équation de Maxwell-Gauss devient alors :

$\vec{\nabla}.(- \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0$

donc $- \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}.\vec{A})-\vec{\nabla}.(\vec{\nabla}V)=0$

Il faut donc poser $\vec{\nabla}.\vec{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t}$ (c'est la jauge de Lorenz (La jauge de Lorenz est une équation d'électromagnétisme. qui tient son nom du physicien danois Ludwig Lorenz (elle est souvent attribuée, à tort, au physicien Hendrik Lorentz...)) pour avoir :

$\vec{\nabla}^{2}V-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}}=0$

De plus, on constate que cette jauge permet aussi au champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) $\vec{A}$ de vérifier l'équation de d'Alembert. Il suffit d'écrire que :

$\vec{rot}(\vec{rot}\vec{A})=\vec{grad}(div \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}$

or $\vec{rot}\vec{A}=\vec{B}$

alors avec Maxwell-Ampère dans le vide (donc le vecteur densité de courant (On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose :) $\vec{j}$ )est nul:

$\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{grad}(div \vec{A})- \vec{\nabla}^{2}\vec{A}$

or on a toujours : $\vec{E} = - \vec{\nabla}V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

donc $\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=\vec{grad}(\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t})$

par conséquent avec la jauge de Lorenz $\vec{\nabla}.\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} = 0$ , $\vec{A}$ de vérifie l'équation de d'Alembert :

$\vec{\nabla}^{2}\vec{A}-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=0$

La jauge de Lorenz est donc la condition sur les potentiels (vecteur et scalaire) pour qu'ils se déplacent de la même manière que les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ .

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