Capacité thermique isochore
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La capacité thermique isochore, que l'on note le plus souvent C_V~, se définit par la dérivée partielle de l'énergie interne U par rapport à la température T calculée à volume V constant, soit :

C_V \ = \ \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V

Comme l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le...), c'est une grandeur extensive, qui s'exprime en Joule par Kelvin (Le kelvin (symbole K, du nom de Lord Kelvin) est l'unité SI de température thermodynamique. Par convention, les noms d'unité sont des noms communs et...). Elle dépend en général de la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du transfert...) T et du volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) V.

Exemple

Pour n moles d'un gaz parfait (Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous les gaz réels à basse pression p.) monoatomique, l'énergie interne se calcule explicitement :

U(T) \ = \ \frac{3}{2} \ n \ R \ T

R est la constante des gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a...) parfaits. L'énergie interne est ici indépendante du volume V, et la capacité thermique isochore (La capacité thermique isochore, que l'on note le plus souvent , se définit par la dérivée partielle de l'énergie interne U par rapport à la température T calculée à volume V...) est dans ce cas particulier égale à une constante :

C_V \ = \ \frac{3}{2} \ n \ R

Propriété

L'énergie interne U(T,V) étant en général une fonction de la température T et du volume V, la capacité thermique (La capacité thermique (ou capacité calorifique) d'un corps est une grandeur permettant de quantifier la possibilité qu'a un corps d'absorber ou restituer de l'énergie par échange thermique au...) isochore (La transformation d'un système (qui peut être solide, liquide, gazeux,...) est dite isochore si le volume du système ne change pas au cours de cette transformation.) s'introduit naturellement dans la forme différentielle :

dU \ = \ C_V \ dT \ + \ (l - p) \ dV

l est un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients...) calorimétrique.

Variation avec le volume

L'énergie interne U étant une fonction d'état, la forme différentielle précédente est une différentielle exacte, et on en déduit la relation :

\left( \frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T \ = \ \left( \frac{\partial (l - p)}{\partial T}\right)_V \ = \ \left( \frac{\partial l}{\partial T}\right)_V \ - \ \left( \frac{\partial p}{\partial T}\right)_V

La thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La...) permet de montrer par ailleurs que le coefficient calorimétrique l est égal à :

l \ = \ T \ \left( \frac{\partial p}{\partial T}\right)_V

On en déduit la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) partielle de la capacité thermique isochore par rapport au volume à température constante :

\left( \frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T \ = \ T \ \left( \frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_V

Si l'on connait l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) d'état du système étudié, on peut donc calculer cette dérivée partielle.

Variation avec la température

La thermodynamique ne permet hélas pas de calculer la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport à la température à volume constant :

\left( \frac{\partial C_V}{\partial T}\right)_V \ = \ \mathrm{?}

Cette variation doit donc être mesurée expérimentalement pour chaque système.

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