Gaz parfait - Définition et Explications

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Introduction

Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous les gaz réels à basse pression.

Ce modèle a été développé au XIXe siècle en constatant que tous les gaz tendent vers ce même comportement à pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) suffisamment basse, quelle que soit la nature chimique du gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume propre : un gaz tend à occuper tout le...) ce qu'exprime la loi d'Avogadro, découverte en 1811 : la relation entre la pression, le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) et la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud,...) est, dans ces conditions, indépendante de la nature du gaz. Cette propriété s'explique par le fait que lorsque la pression est faible, les molécules de gaz sont suffisamment éloignées les unes des autres pour pouvoir négliger les interactions d'ordre électrostatique (L'électrostatique traite des charges électriques immobiles et des forces qu'elles exercent entre elles, c’est-à-dire de leurs interactions.) qui dépendent, elles, de la nature physico-chimique du gaz (molécules plus ou moins polaires). De nombreux gaz réels vérifient avec une excellente approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation...) le modèle du gaz parfait (Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous les gaz réels à basse pression.), dans les conditions normales. C'est le cas des gaz principaux de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de pressuriser les cabines des avions et...), le diazote (Le diazote, couramment nommé « azote » de manière incorrecte, est le nom de la molécule diatomique composée de deux atomes d'azote. Elle est...) et le dioxygène (Le dioxygène est une molécule composée de deux atomes d'oxygène, notée O2, qui est à l'état de gaz aux conditions normales de...).

Description d'un gaz parfait

Sur les plans macroscopiques, on appelle gaz parfait tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) gaz vérifiant simultanément :

loi de Boyle-Mariotte 
à température constante, le produit de la pression p par le volume V : pV est considéré comme constant lorsque la pression est faible ;
loi d'Avogadro 
tous les gaz ont le même volume molaire dans les mêmes conditions de pression et de température.

Sur le plan microscopique, la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) des gaz permet de retrouver ce comportement de gaz parfait : un gaz parfait est un gaz dont les molécules n'interagissent pas entre elles en dehors des chocs et dont la taille est négligeable par rapport à la distance intermoléculaire moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des...). L'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) du gaz parfait est donc la somme de l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement. L’énergie cinétique...) du centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de...) des molécules et de l'énergie interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée...) de chaque molécule (Une molécule est un assemblage chimique électriquement neutre d'au moins deux atomes, qui peut exister à l'état libre, et qui représente...) (rotation, oscillation). Lorsque ces deux énergies sont proportionnelles, on a le .

Gaz parfait de Laplace

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Il arrive que C_p \, ne dépende pas de T \,, donc \gamma = C_p/C_V \, n'en dépend pas non plus. Le gaz parfait est dit de Laplace (le GP de Laplace). Il arrive souvent que l'on précise la valeur de \gamma \,.

Par convention, si on choisit γ = 5 / 3, le gaz parfait de Laplace est dit « gaz parfait monoatomique » (GPM). Le comportement de l'argon (L’argon est un élément chimique, de symbole Ar et de numéro atomique 18.) est très proche d'un gaz parfait monoatomique.

Par convention, si on choisit γ = 7 / 5 le gaz parfait de Laplace est dit « gaz parfait diatomique » (GPD). Le comportement du diazote N2 est proche d'un gaz parfait diatomique.

Il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'écrire pour un gaz parfait de Laplace :

 pV =( \gamma -1) \cdot U = \left(1- \frac{1}{\gamma}\right) \cdot H

soit, pour un gaz parfait monoatomique

pV = 2/3 U = 2/5 H

et pour un gaz parfait diatomique :

pV = 2/5 U = 2/7 H.

Loi de Laplace (Voir aussi (en électromagnétisme) Force de Laplace.)

Dans une transformation adiabatique (En thermodynamique, une transformation est dite adiabatique (du grec adiabatos, « qui ne peut être traversé ») si elle est effectuée sans qu'aucun échange de chaleur n'intervienne entre le système étudié et le milieu...) réversible élémentaire, dU = - p.dV \,. Ceci entraîne, en remplaçant U par sa valeur en fonction de p et V :

 V.dp + \gamma.p.dV = 0~

Soit en intégrant, la Loi de Laplace :

 p V^{\gamma} = cste = p_0 V_0^{\gamma}~

d'où le nom donné à ces gaz parfaits.

Il en résulte, dans une détente, un refroidissement considérable, le gaz prenant sur son énergie interne le travail, (-W ), qu'il fournit.

Application numérique (En sciences, particulièrement en physique, l'application numérique est l'obtention de la valeur numérique d'une grandeur physique à partir de celles d'autre grandeurs lorsque l'on connaît une formule analytique reliant ces...)

Pour un gaz parfait monoatomique, on trouve aisément :

 \ln \frac{T}{T^0} = \frac{2}{5} \cdot \ln \frac{p}{p^0}

Soit pour un rapport de pression 1/10 (la pression baisse de 90 %), un abaissement de température absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus...) d'un facteur 0,398 ; de 300 K la température descend à 120 K soit une chute de 180 K. Ce procédé est utilisé dans l'industrie pour obtenir de basses températures. Malheureusement, la valeur obtenue ne réflète pas réalité, car les gaz réels ne sont pas des gaz parfaits à basse température.

Pour les ordres de grandeur, on retient R·T ~ 2 500 J/mol à 300 K. Le travail récupéré dans cette détente est 2500·(180/300) = 900 J/mol.

Expérience : détente dans un récipient vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.)

Une autre loi remarquable est l'échauffement produit quand on laisse pénétrer un gaz parfait de Laplace dans un flacon vide. Le gaz s'engouffre et puis très vite tout redevient chaotique : la température s'uniformise et devient

T = γT0

T0 étant la température externe. Pour une température externe de 300 K et un gaz parfait monoatomique, on obtient :

T = 500 K

soit une élévation de 200 K. Dans la soufflerie de Modane, c'est bien ce que l'on peut observer.

Ainsi, on a deux cas d'expansion du gaz.

Cycle de Carnot (En thermodynamique, le cycle de Carnot est le processus cyclique réversible de la machine de Carnot. Cette machine produit du travail (c'est un moteur) à...) d'un gaz parfait de Laplace

Un cycle de Carnot moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce travail à partir d'une énergie (éolienne, chimique,...) d'un gaz parfait a comme le veut le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers...) de Carnot, le rendement de Carnot :

r = 1-\frac{T_2}{T_1}.

Dans le cas présent, tout peut se calculer aisément. Décrivons le cycle — on pourra le dessiner aisément en coordonnées de Clapeyron logarithmiques (log V, log p) :

  1. Transformation (A → B) : compression isotherme à température basse, T2, réversible : il faut donc, pour éviter que le gaz ne s'échauffe, libérer une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) de chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) -Q2 >0 à la source froide qui maintient la température T2.
  2. Transformation (B → C) : compression de Laplace : la température monte de T2 à T1.
  3. Transformation (C → D) : détente isotherme à haute température T1, réversible : pour éviter que le gaz ne se refroidisse, il faut que la source chaude (Une source chaude est une source dont l'eau sort du sol à une température élevée, chauffée par un processus géothermique. Il y a des sources chaudes tout autour du monde,...) fournisse une quantité de chaleur Q1>0.
  4. Transformation(C → A) (le point (Graphie) C a été choisi à l'intersection de l'adiabatique réversible passant par A) : la détente adiabatique réversible ramène la température de T1 à T2, et le gaz à son état initial.

Fin du cycle.

Puisque le gaz est revenu à son état initial, le premier principe de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La...) nous dit que

W + Q1 + Q2 = 0

Le rendement du moteur est le travail récupéré -W (donc égal à Q1 + Q2) divisé par la quantité de chaleur délivrée par la source chaude, soit Q1 :

r = 1 + \frac{Q_2}{Q_1}

On démontre que

 \frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2} =0

d'où

r = -\frac{W}{Q_1}= 1-\frac{T_2}{T_1}.

Ce qui nous donne la formule annoncée.

L'égalité de Clausius

\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0

provient du fait que le cycle a été réversible : l'entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite en 1865 par Rudolf Clausius dans le cadre du deuxième principe, d'après les travaux de Sadi Carnot. Clausius a montré que le rapport Q / T (où...) totale est restée constante, celle du gaz est nulle car il est revenu dans l'état A. La source 1 a vu son entropie varier de -Q1/T1, la source 2 de -Q2/T2, d'où l'égalité.

Application numérique : même en prenant une eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) de rivière (En hydrographie, une rivière est un cours d'eau qui s'écoule sous l'effet de la gravité et qui se jette dans une autre rivière ou dans un fleuve, contrairement au fleuve qui se jette, lui, selon cette terminologie, dans la...) à 300 K et une source chaude à 600 K, le rendement ne serait que 50 %. Sur un gigawatt électrique fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de petites îles...) par une centrale « reversible », 2GW doivent être consommés (en charbon, pétrole (Le pétrole est une roche liquide carbonée, ou huile minérale. L'exploitation de cette énergie fossile est l’un des piliers de l’économie industrielle contemporaine, car le pétrole fournit la quasi...), méthane (Le méthane est un hydrocarbure de formule brute CH4. C'est le plus simple composé de la famille des alcanes. C'est un gaz que l'on trouve à...), ou mox (Le Combustible MOX (abréviation de mixed oxide) est un combustible nucléaire fabriqué à partir du plutonium et de l'uranium appauvri. Le terme MOX est l'abréviation de : "Mélange d'OXydes". Le combustible MOX contient...) nucléaire) dont 1 GW ira à la rivière (élévation de température) ou dans l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) (chaleur de fumée (La fumée, parfois appelée boucane en Amérique du Nord, est un nuage de particules solides émis par un feu ou un échauffement mécanique. Ces particules sont principalement...), vapeur () d'une tour de réfrigération). Si l'on considère que toute la chaleur va dans la rivière et que celle-ci a un débit (Un débit permet de mesurer le flux d'une quantité relative à une unité de temps au travers d'une surface quelconque.) 100 m3/s : en 1 seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La...), 109 J iront chauffer 100×106 g d'eau : soit une élévation de température de 10 (J)/4,18 (J/K) = 2,4 K (Le 4K est un format de définition d’image, principalement utilisé pour le cinéma.).

Six centrales produisant 6 GW donneraient une élévation de 6·2,4 = 14,4 K. En France, il est interdit de dépasser 27 °C dans une rivière (obligation légale, pour la survie de la vie (La vie est le nom donné :) aquatique en zone tempérée) : l'été 2003 fut très chaud, il a fallu arrêter certaines centrales (voir l'article Canicule 2003). Cette pollution (La pollution est définie comme ce qui rend un milieu malsain. La définition varie selon le contexte, selon le milieu considéré et selon ce que l'on peut entendre...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant...) (Q2 < 0) calculée par la formule de Carnot est la plus basse possible ; il s'agit en fait d'un minimum, la pollution thermique réelle est plus élevée. Encore avons-nous pris un rendement r = 0,5 ; la réalité est proche de 0,42.

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