Loi des tangentes
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Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.
Fig. 1 - Notations usuelles dans un triangle quelconque.

En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.

On considère un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de...) quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

  • a = BC et α =  ;
  • b = AC et β = B ;
  • c = AB et γ = C.

Alors,

\frac{\frac{a-b}2 }{\frac {a+b}2 } = \frac{\tan \frac{\alpha-\beta}2 }{\tan \frac{\alpha+\beta}2 }.

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les...) aux géométries non euclidiennes

Fig. 2 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.
Fig. 2 - Triangle sphérique : dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si...) réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Pour une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) non euclidienne de courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) K, on note ρ le rayon de courbure. Il vérifie

\,\rho = 1/\sqrt{|K|}.

On définit alors les dimensions réduites du triangle :

\,a = BC/\rho,
\,b = AC/\rho,
\,c = AB/\rho.

Dans le cas d'un triangle sphérique, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (voir Fig. 2).

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) sphérique

Dans un triangle sphérique ABC (Fig. 2), la loi des tangentes (En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un triangle et la mesure de deux de ses angles.) devient :

\frac{\tan\frac{a-b}2 }{\tan\frac{a+b}2 } = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}2 }{\tan\frac{\alpha+\beta}2}.
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