Corps local - Définition

En mathématiques, un corps local est un corps commutatif complet pour une valuation discrète. Les corps locaux interviennent de façon fondamentale en théorie algébrique des nombres.

• Si K est un corps commutatif, le corps K((X)) des séries formelles à coefficients dans K est un corps local.
• Si K est une extension finie du corps des nombres rationnels et si v est une valuation non triviale de K, le complété de K relativement à v est un corps local.

Si K est un corps local, ses éléments de valuation positive en constituent un sous-anneau, qu'on appelle l'anneau des entiers de K. C'est un anneau de valuation discrète dont l'idéal maximal est constitué de ses éléments de valuation strictement positive. Le corps résiduel de K est le quotient de son anneau d'entiers par son idéal maximal. La caractéristique résiduelle de K est la caractéristique de son corps résiduel.

Corps locaux de corps résiduel fini

Un corps local a un corps résiduel fini si, et seulement s'il est localement compact.

Inversement, un corps commutatif K localement compact non discret est canoniquement munie d'une valeur absolue appelée module.

• Si cette valeur absolue est archimédienne, alors K est isomorphe soit au corps des nombres réels, soit au corps des nombres complexes.
• Sinon, la valuation qui lui correspond est discrète et fait de K un corps local de corps résiduel fini. Dans ce cas, la caractéristique résiduelle de K est un nombre premier. Deux cas de figure se présentent, selon que la caractéristique de K est ou non égale à sa caractéristique résiduelle :
  • En cas d'inégale caractéristique, le corps K est nécessairement de caractéristique nulle, et il est isomorphe à une extension finie du corps des nombres p-adiques, où p désigne la caractéristique résiduelle de K ; un tel corps est appelé corps de nombres p-adiques.
  • En cas d'égale caractéristique, le corps K est isomorphe au corps des séries formelles à coefficients dans son corps résiduel.

Les corps locaux dont le corps résiduel est fini (ou, plus généralement, parfait) sont soumis à la théorie du corps de classes local.

Corps locaux non commutatifs

Il est possible d'élargir la définition d'un corps local en autorisant les corps non commutatifs (on parle aussi d'algèbres de division). Les notions d'anneau d'entiers, de corps résiduel et de caractéristique résiduelle s'étendent sans difficulté à ce cadre. Le centre d'un corps local non commutatif est un corps local.

Un corps local non commutatif est localement compact si et seulement si son centre l'est, et si et seulement s'il a un corps résiduel fini. Dans ce cas, il est de dimension finie sur son centre.

Inversement, les corps non commutatifs localement compacts non discrets sont classés comme suit.

• Si leur valeur absolue est archimédienne, ils sont isomorphes au corps des quaternions de Hamilton.
• Sinon, ce sont des algèbres cycliques sur leur centre, paramétrées par un élément a de .