Anneau topologique
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En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R,+, ×) muni d'une topologie telle que :

  • (x , y) \to x + y est continue
  • x \to - x est continue
  • (x , y) \to xy est continue

où R 2 est muni de la topologie produit.

Exemples

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) des rationnels, des réels, des complexes, des nombres p-adiques sont des anneaux topologiques pour leur topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) classique (distance pour les 3 premiers, distance p-adique pour le dernier). Ce sont même des corps topologiques.

L'ensemble des fonctions continues d'un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...) E vers l'ensemble des réels est un anneau topologique (En mathématiques, un anneau topologique est un anneau (R,+, ×) muni d'une topologie telle que :) pour la topologie de la convergence simple (La convergence simple ou ponctuelle est un critère de convergence dans un espace fonctionnel, c’est-à-dire dans un ensemble de fonctions. C'est un critère...).

Topologie I-adique

Si R est un anneau commutatif et I un idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde...) de R, alors R est un anneau topologique pour la topologie I-adique définie de la manière suivante: Un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des éléments...) U de R est ouvert si et seulement si , il existe un entier naturel n tel que

x + I^n \subseteq  U

Si, de plus,

\bigcap_{n \in \mathbb{N}}I^n = \{0\}

alors R est un espace séparé ou espace de Hausdorff.

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est une topologie I-adique avec I = p\Z

Si R est séparé, on peut induire sur R une distance :

d(x,y) = 2 kk est le premier entier tel que x-y \notin I^k
d(x,y)= 0 si x - y\in I^k pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier k.

On peut alors parler de suites de Cauchy et rechercher le complété de l'anneau R

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