Matrice de Hadamard
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Une matrice de Hadamard, du nom du mathématicien français Jacques Hadamard, est une matrice carrée dont les coefficients sont tous 1 ou -1 et dont les lignes sont toutes orthogonales entre elles. Le nom retenu pour ces matrices rend hommage au mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) français Jacques Hadamard, même si les premiers exemples systématiques sont dus à James Joseph Sylvester.

Pour une matrice H d'ordre n, la propriété d'orthogonalité des colonnes peut également s'écrire sous la forme

H H^{\mathrm{T}}= n I_n \quad

In est la matrice identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs. Nous pouvons l'écrire) d'ordre n.

Exemples :

H_1 = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}
H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
H_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Propriétés

Une matrice réelle M d'ordre n, dont les éléments sont bornés, | M_{ij} | \le 1 atteint l'égalité dans l'inégalité de Hadamard

|\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}

si et seulement si c'est une matrice de Hadamard (Une matrice de Hadamard, du nom du mathématicien français Jacques Hadamard, est une matrice carrée dont les coefficients sont tous 1 ou -1 et dont les lignes sont toutes orthogonales...).

Certaines opérations élémentaires transforment une matrice de Hadamard en une autre : permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession de ces n...) de lignes ou de colonnes, multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) d'une ligne ou d'une colonne par -1.

La transposée d'une matrice de Hadamard est encore une matrice de Hadamard.

Construction de Sylvester

Les premiers exemples de matrices de Hadamard sont dus au mathématicien James Joseph Sylvester.

La construction est basée sur la propriété suivante. Si H une matrice de Hadamard d'ordre n, alors la matrice

\begin{pmatrix} H & H\\ H & -H\end{pmatrix}

est une matrice de Hadamard d'ordre 2n.

En appliquant cette construction de façon récursive, on construit la suite des matrices de Walsh, ou de Sylvester

H_1 = \begin{bmatrix} 1      \end{bmatrix},
H_2 = \begin{bmatrix} 1 &  1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},

puis (en utilisant la notation du produit de Kronecker)

H_{2^k} = \begin{bmatrix} H_{2^{k-1}} &  H_{2^{k-1}}\\ H_{2^{k-1}}  & -H_{2^{k-1}}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^{k-1}},

Les matrices construites par la méthode de Sylvester ont certaines propriétés intéressantes. Ce sont des matrices symétriques de trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des...) nulle. Les éléments de la première colonne et de la première ligne sont tous positifs. Dans chaque autre ligne ou colonne, la moitié des éléments est positive. Ces matrices sont étroitement liées aux fonctions de Walsh.

Ordre d'une matrice de Hadamard

L'ordre d'une matrice de Hadamard est nécessairement 1, 2 ou un multiple de 4.

La construction de Sylvester montr qu'l existe des matrices de Hadamard d'ordre 2k pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel k.

Les matrices de Hadamard d'ordres 12 et 20 ont été construite par Hadamard. Raymond Paley démontra plus tard comment construire une matrice de Hadamard d'ordre q+1 lorsque q est une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) d'un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul...) congrue à 3 modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction qui au couple (a, b) d'entiers...) 4. Il a également construit des matrices d'ordre 2*(q+1) avec q, puissance d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) premier congrue à 1 modulo 4. Sa méthode utilise les corps finis. D'autres méthodes pour la construction de matrices de Hadamard sont maintenant connues.

Conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Hadamard

La question ouverte la plus importante à propos des matrices de Hadamard est celle de leur existence. D'après la conjecture de Hadamard,

une matrice de Hadamard d'ordre 4k existe pour tout entier positif k.

À la suite de l'annonce de la découverte d'une matrice de Hadamard d'ordre 428 le 21 juin 2004 par Hadi Kharaghani et Behruz Tayfeh-Rezaie, le plus petit ordre pour lequel aucune matrice de Hadamard n'est connue est actuellement 668.

La conjecture de Hadamard devrait plutôt être attribuée à Paley.

Application

Les matrices de Hadamard sont utilisées dans les codes correcteurs comme celui de Reed-Muller, ou encore pour réaliser les plans d'analyse sensorielle.

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