Connexité (mathématiques) - Définition

L'espace A est connexe, alors que B ne l'est pas

En mathématiques, la notion topologique de connexité formalise le concept d'"être d'un seul tenant ".

Définition

Soit un espace topologique . Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

• n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ;
• n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
• Toute application continue est constante.

Cette dernière caractérisation est souvent celle qui est la plus commode à utiliser pour démontrer un résultat de connexité.

Dans le cas où ces conditions sont remplies on dit que l'espace est connexe.

Une partie d'un espace topologique est dite connexe si elle est un espace connexe lorsqu'elle est munie de la topologie induite.

Par exemple un singleton est connexe.

Connexité et nombres réels

• L'ensemble des nombres réels est connexe.

On montre d'abord que tout intervalle fermé borné est connexe. Soient en effet deux fermés non vides et formant une partition de . Sur le compact , la fonction continue a un minimum strictement positif , réalisé en . Alors . Mais  : sinon la distance de à serait . De même, . On aboutit donc à une contradiction.

Comme , on en déduit que est connexe, en tant que réunion de parties connexes dont l'intersection n'est pas vide.

• Les parties connexes de sont les intervalles. Un raisonnement analogue à celui montrant la connexité des nombres réels montre que les intervalles sont connexes. Considérons maintenant un ensemble non vide qui ne soit pas un intervalle. il existe donc un élément tel qu'il existe dans au moins un élément plus petit et un élément plus grand que . Alors et forment une partition en deux ouverts disjoints.

Par exemple n'est pas connexe.

Propriétés

Union, intersection, adhérence

Exemples d'unions et d'intersections connexe ou non.

Si et sont deux parties connexes d'un espace topologique , en général l'union et l'intersection de et ne sont pas connexes.

En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe si elles ont un point commun. Plus généralement, si est une suite de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante : alors la réunion est connexe.

Autre généralisation : la réunion d'une famille quelconque de parties connexes de est connese, si leur intersection est non vide. Exemple d'application : toute partie connexe par arcs est connexe.

Si est connexe, toute partie telle que est connexe (on a désigné par l'adhérence de ).

Composantes connexes

Étant donné un point dans un espace topologique , on peut considérer la plus grande partie connexe contenant , qui est aussi l'union des parties connexes contenant . On la note et on l'appelle composante connexe de dans .

Au minimum, on a  ; c'est le cas ou est un point isolé.

Au maximum, on a  ; c'est le cas où est connexe.

On définit une relation d'équivalence sur de la manière suivante : on dit que et sont connectés si et seulement si . On note que cette relation équivaut à .

Les classes d'équivalence pour cette relation sont appelées composantes connexes de  ; ainsi tout espace topologique se décompose en union disjointe de plusieurs parties connexes.

Exemples :

• a deux composantes connexes : et .
• Dans et plus généralement dans un espace muni de la topologie discrète, les composantes connexes sont les singletons.
• Dans aucun point n'est isolé, mais les composantes connexes sont aussi les singletons. Le même phénomène se produit pour l'ensemble de Cantor

Un espace topologique dont les composantes connexes sont les singletons est dit totalement discontinu.

Connexité et continuité

On sait caractériser les espaces connexes par le fait que toute fonction continue à valeurs dans est constante.

En fait, on peut dire plus généralement que l'image d'un espace connexe par une application continue est toujours connexe. Plus précisément si est un espace connexe, un espace topologique et une application continue, alors est une partie connexe de .

Dans le cas ou est on obtient le théorème des valeurs intermédiaires : si est un espace connexe et si une fonction continue prend les valeurs et alors elle prend toute valeur comprise entre et .

Deux applications fondamentales à l'Analyse

Pour montrer qu'une propriété est vraie pour tous les points d'une partie que l'on sait connexe, on montre que l'ensemble des points qui la satisfait est ouvert et fermé. C'est ce qu'on fait pour le théorème d'unicité global des solutions d'une équation différentielle, et pour le principe du prolongement analytique

Applications à la topologie

La droite et le plan ne sont pas homéomorphes : si tel était le cas, la droite privée d'un point serait homéomorphe au plan privé d'un point. Mais le second espace est connexe, le premier ne l'est pas.

Le même argument montre que le cercle S¹ n'est pas homéomorphe à un intervalle.

Cet argument ne s'étend pas aux dimensions supérieures. Si on veut montrer en utilisant les mêmes idées que et ne sont pas homéomorphes, il faut faire intervenir la connexité simple (c'est à dire la connexité par arcs de l'espace des chemins fermés).