Connexité (mathématiques)
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L'espace A est connexe, alors que B ne l'est pas
L'espace A est connexe, alors que B ne l'est pas

En mathématiques, la notion topologique de connexité formalise le concept d'"être d'un seul tenant ".

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des...) E \,\!. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

  • E \,\! n'est pas la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et...) de deux ouverts non vides disjoints ;
  • E \,\! n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
  • Toute application continue f : E \rightarrow \{ 0,1 \} \,\! est constante.

Cette dernière caractérisation est souvent celle qui est la plus commode à utiliser pour démontrer un résultat de connexité.

Dans le cas où ces conditions sont remplies on dit que l'espace E \,\! est connexe.

Une partie X \,\! d'un espace topologique E \,\! est dite connexe si elle est un espace connexe lorsqu'elle est munie de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) induite.

Par exemple un singleton \{x\} \,\! est connexe.

Connexité et nombres réels

  • L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) des nombres réels \R \,\! est connexe.

On montre d'abord que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) intervalle fermé borné [a,b]\, est connexe. Soient en effet deux fermés non vides C\, et \,D formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et inversement. Chaque voyelle se caractérise par...) une partition de [a,b]\,. Sur le compact C\times D\,, la fonction continue (x,y)\mapsto \vert x- y\vert a un minimum strictement positif \delta\,, réalisé en (u,v)\,. Alors w=\frac{u+v}{2}\in [a,b]\,. Mais w\notin C\, : sinon la distance de C\, à \,D serait \le\frac{\delta}{2}\,. De même, w\notin D\,. On aboutit donc à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.).

Comme \R =\cup_{n\ge 1}[-n,n]\,\!, on en déduit que \R \,\! est connexe, en tant que réunion de parties connexes dont l'intersection n'est pas vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

  • Les parties connexes de \R \,\! sont les intervalles. Un raisonnement analogue à celui montrant la connexité des nombres réels montre que les intervalles sont connexes. Considérons maintenant un ensemble A\! non vide qui ne soit pas un intervalle. il existe donc un élément b\! tel qu'il existe dans A\! au moins un élément plus petit et un élément plus grand que a\!. Alors ]-\infty,a[\! et ]a,+\infty[\! forment une partition en deux ouverts disjoints.

Par exemple [0,1] \cup [2,3] \,\! n'est pas connexe.

Propriétés

Union, intersection, adhérence

Exemples d'unions et d'intersections connexe ou non.
Exemples d'unions et d'intersections connexe ou non.

Si X \,\! et Y \,\! sont deux parties connexes d'un espace topologique E \,\!, en général l'union et l'intersection de X \,\! et Y \,\! ne sont pas connexes.

En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe si elles ont un point (Graphie) commun. Plus généralement, si (X_n)_{n \in \N} \,\! est une suite de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante : \forall n \in \N , X_n \cap X_{n+1} \neq \varnothing \,\! alors la réunion \bigcup_{n \in \N} X_n \,\! est connexe.

Autre généralisation : la réunion d'une famille quelconque \big(X_\alpha\big) de parties connexes de E \,\! est connese, si leur intersection est non vide. Exemple d'application : toute partie connexe par arcs est connexe.

Si A\subset X\, est connexe, toute partie B\, telle que A\subset B\subset\overline{A}\, est connexe (on a désigné par \overline{A}\, l'adhérence de A\, ).

Composantes connexes

Étant donné un point x \,\! dans un espace topologique E \,\!, on peut considérer la plus grande partie connexe contenant x \,\!, qui est aussi l'union des parties connexes contenant {x} \,\!. On la note C_x \,\! et on l'appelle composante connexe de x \,\! dans E \,\!.

Au minimum, on a C_x = \{x\} \,\! ; c'est le cas ou x \,\! est un point isolé (En topologie, un point x d'un espace topologique E est dit isolé si le singleton est un ouvert.).

Au maximum, on a C_x = E \,\! ; c'est le cas où E \,\! est connexe.

On définit une relation d'équivalence sur E \,\! de la manière suivante : on dit que x \,\! et y \,\! sont connectés si et seulement si y \in C_x \,\!. On note que cette relation équivaut à x \in C_y \,\!.

Les classes d'équivalence pour cette relation sont appelées composantes connexes de E \,\! ; ainsi tout espace topologique se décompose en union disjointe de plusieurs parties connexes.

Exemples :

  • \R^* \,\! a deux composantes connexes : \R_+^* \,\! et \R_{-}^* \,\!.
  • Dans \N \,\! et plus généralement dans un espace muni de la topologie discrète, les composantes connexes sont les singletons.
  • Dans \mathbb{Q} \,\! aucun point n'est isolé, mais les composantes connexes sont aussi les singletons. Le même phénomène se produit pour l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.)

Un espace topologique dont les composantes connexes sont les singletons est dit totalement discontinu.

Connexité et continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la...)

On sait caractériser les espaces connexes par le fait que toute fonction continue à valeurs dans \{ 0,1 \} \,\! est constante.

En fait, on peut dire plus généralement que l'image d'un espace connexe par une application continue est toujours connexe. Plus précisément si E \,\! est un espace connexe, F \,\! un espace topologique et f : E \rightarrow F \,\! une application continue, alors f(E) \,\! est une partie connexe de F \,\!.

Dans le cas ou F \,\! est \R \,\! on obtient le théorème des valeurs intermédiaires (Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.) : si E \,\! est un espace connexe et si une fonction continue f : E \rightarrow \R \,\! prend les valeurs a \,\! et b \,\! alors elle prend toute valeur c \,\! comprise entre f(a) \,\! et f(b) \,\!.

Deux applications fondamentales à l'Analyse

Pour montrer qu'une propriété est vraie pour tous les points d'une partie que l'on sait connexe, on montre que l'ensemble des points qui la satisfait est ouvert et fermé. C'est ce qu'on fait pour le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) d'unicité global des solutions d'une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) différentielle, et pour le principe du prolongement analytique

Applications à la topologie

La droite \mathbb{R} et le plan \mathbb{R}^2 ne sont pas homéomorphes : si tel était le cas, la droite privée d'un point serait homéomorphe au plan privé d'un point. Mais le second espace est connexe, le premier ne l'est pas.

Le même argument montre que le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) S1 n'est pas homéomorphe à un intervalle.

Cet argument ne s'étend pas aux dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) supérieures. Si on veut montrer en utilisant les mêmes idées que \mathbb{R}^2 et \mathbb{R}^3 ne sont pas homéomorphes, il faut faire intervenir la connexité simple (En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni...) (c'est à dire la connexité par arcs de l'espace des chemins fermés).

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