Matrice symétrique
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Définitions

  • En algèbre linéaire, une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa propre transposée. Ainsi A est symétrique si :
{}^tA = A\,

ce qui exige que A soit une matrice carrée.

Intuitivement, les coefficients d'une matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) sont symétriques par rapport à la diagonale principale (En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carré d'ordre 2, qui suit a des 1 sur sa diagonale principale:) (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).

Exemple :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 5\\ 3 & 5 & 6\end{pmatrix}
  • L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des matrices symétriques à coefficients dans un anneau K est noté Sn(K).
  • Toute matrice diagonale (En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être...) est symétrique, puisque tous les coefficients en dehors de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés...) principale sont nuls.
  • Un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) fondamental concernant de telles matrices est le théorème spectral en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien...) finie, qui énonce que les matrices symétriques dont les coefficients sont des nombres réels sont diagonalisables à l'aide de matrices orthogonales.
  • Remarque : il existe des matrices symétriques non diagonalisables à coefficients complexes. Exemple :
\begin{pmatrix} 1 & i\\ i & -1\end{pmatrix}

En effet, cette matrice admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle.

Interprétations

  • En algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ), une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique ssi cette dernière est symétrique.
  • Dans un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des...), une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint.

Matrices symétriques positives

Définitions

  • Une matrice symétrique réelle est positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire positive.
  • L'ensemble des matrices symétriques positives d'ordre n est noté S_n^+(\R)
  • Autrement dit :
\forall S\in S_n(\R),\ S\in S_n^+(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_{n,1}(\R),\ ^tXSX\ge 0
  • Une matrice symétrique réelle est strictement positive si et seulement si elle représente une forme bilinéaire strictement positive.
  • L'ensemble des matrices symétriques strictement positives d'ordre n est noté S_n^{++}(\R)
  • En clair,
\forall S\in S_n(\R),\ S\in S_n^{++}(\R) \iff \forall X\in\mathcal M_{n,1}(\R)\setminus\{0\},\ ^tXSX > 0

Propriétés

  • Une matrice symétrique est positive si et seulement si ses valeurs propres (qui sont automatiquement réelles) sont positives.
  • Une matrice symétrique est strictement positive si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
  • Pour toute matrice réelle A, la matrice tAA est une matrice symétrique positive. De plus si A est une matrice carrée inversible, tAA est strictement positive.
  • Toute matrice symétrique positive admet une unique racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le...) symétrique positive, en clair :
\forall S\in S_n^+(\R),\ \exist ! T\in S_n^+(\R),\ T^2=S.

Ce résultat se généralise aux racine nièmes.

Utilisations concrètes

  • Une matrice symétrique de dimension 3 représente une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.) en coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les...) dans un plan projectif construit à partir de \mathbb C^3\, \backslash\, \{(0,0,0)\}.
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