Espace métrique
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En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.

L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En physique,...) à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.). La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) de la droite les reliant.

Définitions

  • On appelle distance sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) E \,, une application d:E\times E\rightarrow\mathbb R_+ telle que :
  • \forall x,y\in E, d(x,y)=d(y,x);
  • d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y;
  • d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) (inégalité triangulaire).
  • On appelle boule (ouverte) centrée en a\in E et de rayon r\in\mathbb R_+, l'ensemble \{x\in E/d(x,a)<r\}\subset E. On la note souvent B(a,r)\,.
  • On appelle boule fermée centrée en a\in E et de rayon r\in\mathbb R_+, l'ensemble \{x\in E/d(x,a)\leq r\}\subset E. On la note souvent B_f(a,r)\,.

Voir aussi boule.

  • La distance munit E\, d'une topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).), en définissant une partie U\, comme ouverte lorsque: \forall u\in U,\exists\varepsilon>0/B(u,\varepsilon)\subset U. Un ouvert est donc une partie qui a une certaine " épaisseur " autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au...) de ses points. Un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts...) est dit métrisable s'il existe une distance définissant sa topologie ; cette distance n'est presque jamais unique et on prendra garde que les notions de boule, de borné (i.e. inclus dans une boule), de suite de Cauchy (En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique, ou d'un espace topologique uniforme dont...), de continuité uniforme (En topologie, la continuité uniforme est une définition plus contraignante que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la...), etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie. Dans cette topologie, les voisinages d'un point (Graphie) sont tous les sous-ensembles contenant une boule ouverte centrée sur ce point. La topologie usuelle sur la droite (des nombres réels), le plan, etc. sont des exemples de topologies définissables à l'aide d'une métrique.
  • Une propriété intéressante des espaces topologiques métrisables est la propriété de séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans...). En effet, si on choisit deux éléments distincts x\, et y\, d'un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) E\,, leur distance d\, est non nulle, par conséquent les ouverts B(x,d/2)\, et B(y,d/2)\, sont disjoints et sont des voisinages de x\, et y\,.

Exemples

  • distance triviale (ou encore distance discrète): sur un ensemble non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), on décide que la distance entre deux points distincts est 1. Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de E, c'est-à-dire que pour toute partie F de E est ouverte.
  • les espaces topologiques R et ]0,1[ sont homéomorphes, mais munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple R est complet mais ]0,1[ ne l'est pas.
  • si on munit R+ de la distance d(x,y)=|ex- ey|, on retrouve la topologie usuelle sur R+ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.
  • La métrique discrète, pour laquelle d(x,y) = 1 pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x différent de y et d(x,x) = 0 est un autre exemple simple pouvant être appliqué à tout ensemble E.
  • La distance aux Échecs permet de connaître le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de coups nécessaire au jeu d'échec pour aller avec le roi d'une case x1, y1 à une case x2, y2 et se définit par D_{Echec} = \max \left ( \left | \left ( x_2 - x_1 \right) \right | , \left | \left ( y_2 - y_1 \right ) \right | \right )
  • la distance de Manhattan (Manhattan est l'une des cinq circonscriptions (borough) de la ville de New York (les quatre autres étant The Bronx, Queens, Brooklyn et Staten Island). La circonscription de Manhattan se superpose avec le...): dans le plan \mathbb R^2:d(a,b)=|x_b-x_a|+|y_b-y_a|.c'est bien sûr la distance induite par la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen...) 1.

Équivalence d'espaces métriques

En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver a minima la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.

Soit deux espaces métriques (M1, d1) et (M2, d2). M1 et M2 sont appelés

  • topologiquement isomorphiques (ou homéomorphiques) s'il existe un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits...) entre eux.
  • uniformément isomorphiques s'il existe un isomorphisme uniforme entre eux.
  • isométriquement isomorphiques s'il existe un isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M1M2 qui préserve les distances : d2(f(x), f(y)) = d1(x, y) pour tout x, y dans M1. Les isométries sont forcément injectives.
  • similaire s'il existe une constante positive k > 0 et une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M1M2 et d2(f(x), f(y)) = k d1(x, y) pour tout x, y dans M1.
  • similaire (du second type) s'il existe une fonction bijective f, appelée similarité telle que f : M1M2 et d2(f(x), f(y)) = d2(f(u), f(v)) si et seulement si d1(x, y) = d1(u, v) pour tout x, y,u, v dans M1.

Dans le cas d'un espace euclidien avec la métrique usuelle, les deux notions de similarité sont équivalentes.

Pièges

  • le lien entre une boule fermée et l'adhérence de la boule ouverte correspondante est en général une simple inclusion:
\overline B(a,r)\subset B_f(a,r)

(c'est une chausse-trappe classique de topologie, discutée dans adhérence (mathématiques) et boule (mathématiques)).

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