Foyer (mathématiques)
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On désigne généralement par foyer un ou plusieurs points caractéristiques associés à une figure remarquable de géométrie.

Cas des coniques

Différentes coniques de même foyer F
Différentes coniques de même foyer F

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) monofocale d'une conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre...) utilise conjointement un foyer F et une droite D appelée directrice associée. La conique apparaît comme ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme l'énonçait...) des points M du plan tels que \ {d(M,F)} = e \ {d(M,D)}. Selon la valeur du réel strictement positif e qu'on nomme excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.), l'ensemble sera une ellipse, une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des génératrices du cône. Elle est un type de courbe dont les nombreuses propriétés géométriques ont intéressé les mathématiciens dès...) ou une hyperbole.

  • Les points de la parabole sont donc caractérisés par le propriété MF=MH sur le schéma ci-contre, H désignant le projeté orthogonal de M sur D.
  • Plus la valeur e est voisine de 0, plus la conique ressemble à un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...). Certains estiment que le centre du cercle est son foyer et que la directrice est rejetée à l'infini.


Hyperbole : abs(MF - MF') = constante
Hyperbole : abs(MF - MF') = constante
Ellipse : MF + MF' = constante
Ellipse : MF + MF' = constante


Si la parabole ne possède qu'un foyer, l'ellipse et l'hyperbole en possèdent chacune deux, permettant une définition bifocale de ces courbes. Dans le cas de l'ellipse, la somme des distances du points M aux deux foyers est une constante ; dans le cas de l'hyperbole, c'est la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) de la différence.

Autres courbes planes

D'autres courbes planes se voient également attribuer des foyers, notamment si leurs points possèdent des propriétés liées aux distances à ces foyers. On peut citer le cas de la lemniscate de Bernoulli (La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane. Elle porte le nom du mathématicien et physicien suisse Jacques Bernoulli.), des ovales de Cassini (La mission Cassini-Huygens est une mission spatiale automatique réalisée en collaboration par le Jet Propulsion Laboratory (JPL), l'Agence spatiale européenne (ESA) et l'Agence...), de certaines cubiques comme la strophoïde ...

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