Quadrilatère - Définition

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En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.

Quelques quadrilatères particuliers :

  • Trapèze
  • Parallélogramme
  • Losange
  • Rectangle
  • Carré
  • Cerf-volant (Le cerf-volant, au pluriel des cerfs-volants, est un engin volant plus lourd que l'air,...)

image:geometrie_quadrilataire.png
Exemple de quadrilatère quelconque

Typologie des quadrilatères

Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d'intérêt mais permettent de voir ce qui se cache derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus ( trapèzes, parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...), rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...), losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un...), carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...), ... )

Classement par convexité

Un quadrilatère peut être :

  • convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...), si tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) segment joignant deux points du quadrilatère reste toujours à l'intérieur du quadrilatère;
  • concave, si ce n'est pas le cas, mais que les côtés ne se croisent pas; on dit souvent " non-convexe " au lieu de " concave ";
  • croisé, si deux de ses côtés se croisent.

Image:quadrilatères.png

La plupart des quadrilatères particuliers sont convexes. En pratique, un quadrilatère convexe est un quadrilatère dont on peut faire le tour avec une ficelle tendue sans quitter les côtés ( dans l'image ci-dessus, le pointillé sur le second quadrilatère représente la ficelle ).

La première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux triangles, la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) de leurs sommets ne suffit pas à les définir.

En effet, considérons quatre points A, B, C et D ( non alignés pour éviter certains problèmes ). Ces quatre points peuvent être les extrémités de 6 segments distincts, AB, AC, AD, BC, BD et CD. Ces segments peuvent être assemblés pour former trois quadrilatères distincts ( et trois seulement ) :

  • AB + BC + CD + DA
  • AB + BD + DC + CA
  • AC + CB + BD + DA

Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses côtés ; les deux autres segments sont ses diagonales.

Deux situations doivent être distinguées :

  • si l'un des points est à l'intérieur du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) formé par les trois autres points :
les trois quadrilatères obtenus sont concaves ;
  • sinon, on obtient un quadrilatère convexe et deux croisés.

Donc, si la donnée de quatre points ne suffit pas à définir un quadrilatère quelconque, elle suffit par contre à définir un quadrilatère convexe.

Autres classements

Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple

  • les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires

Image:Quadrilatères à diagonales perpendiculaires.png

L'aire de tous ces quadrilatères est D*d/2. Cette catégorie ne présente pas de régularité d'aspect. Seul le dernier dessin évoque un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) régulier - un cerf-volant, voire un losange.
  • les quadrilatères dont les côtés sont égaux deux à deux.

On n'obtient pas toujours un parallélogramme. Si les côtés égaux sont consécutifs, on retombe sur le cerf-volant. Si le quadrilatère n'est pas convexe, on peut obtenir un quadrilatère croisé.
  • les quadrilatères dont les côtés sont parallèles

Image:Quadrilatères à côtés parallèles.png

on retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères  : les trapèzes et les parallélogrammes
  • enfin, les parallélogrammes particuliers nous redonnent les classes des rectangles (parallèlogrammes à angles droits), des losanges(parallèlogrammes à côtés adjacents égaux) et des carrés (à la fois rectangles et losanges)

Image:Quadrilatères remarquables.png

Propriétés générales des quadrilatères

La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360°. Mais cela n'est pas vrai pour un quadrilatère croisé.

L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) qu'elles forment.

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