Point d'inflexion
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Représentation graphique de l'équation y=x3 montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0,0)
Représentation graphique de l'équation y=x3 montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0,0)
Point d'inflexion de l'arctangente
Point d'inflexion de l'arctangente

En analyse, ou en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base...) un point (Graphie) d'inflexion est un changement de la concavité sur une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...). Les points d'inflexion sont aussi ceux où la tangente traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails, pour en maintenir l'écartement et l'inclinaison, et transmettre...) la courbe.

C'est pourquoi les points d'inflexion, quand on arrive à les déterminer explicitement, aident à bien représenter l'allure de la courbe.

Point d'inflexion pour le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) d'une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une autre. Et si ces quantités sont représentées par...)

Si, sur un point de la courbe représentative d'une fonction continue, la concavité passe du type " convexe " au type " concave " (ou l'inverse), on appelle ce point " point d'inflexion de la courbe ".

Graphiquement, un point d'inflexion est un point où la tangente croise la courbe.

En un point d'inflexion la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure d'angle...), si elle existe, s'annule. Ceci permet de tester quels points sont points d'inflexion.

Point d'inflexion pour un arc paramétré

Les points d'inflexion d'un arc plan sont les points où la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) s'annule en changeant de signe. Le centre de courbure (vers lequel est tourné la concavité de la courbe) passe d'un côté à l'autre.

Point birégulier et point d'inflexion

Un point birégulier est un point tel que les vecteurs dérivés première et seconde en ce point sont indépendants. En un tel point, il y a une tangente, sans rebroussement ni inflexion (point ordinaire).

Les points non biréguliers sont les points où la courbure s'annule (avec ou sans changement de signe).

La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la...) des points d'inflexion s'effectue donc en faisant la liste des points non biréguliers, et en faisant l'étude locale en chacun d'eux. Voir pour les détails de cette étude, l'article tangente.

Remarque : certains auteurs préfèrent donner pour définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de point d'inflexion " point tel que les vecteurs dérivés première et seconde en ce point sont colinéaires ". La distinction faite au-dessus n'a alors pas lieu d'être, mais en un point d'inflexion on ne traverse plus nécessairement la tangente.

Applications

En chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations communs...), dans un dosage (En chimie analytique, le dosage est l'action qui consiste à déterminer la quantité d'une substance précise (l'analyte) présente dans une...), un élément de description remarquable de la courbe de dosage est la droite d'Henderson : tangente passant par l'un des point d'infexion.

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