Schéma d'axiomes de remplacement
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Le schéma d'axiomes de remplacement, ou schéma d'axiomes de substitution est un schéma d'axiomes de la théorie axiomatique des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem. Elle assure l'existence d'ensembles qui ne pouvait être obtenue dans la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) de Ernst Zermelo, et offre ainsi un cadre axiomatique plus fidèle à la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée...) des ensembles de Georg Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de...). En ajoutant à la théorie de Zermelo, le schéma d'axiomes de remplacement on obtient la théorie de Zermelo-Fraenkel, notée ZFC (En mathématiques, l'abréviation ZF désigne la théorie de Zermelo-Fraenkel, ZFC quand elle comprend l'axiome du choix, théorie axiomatique des ensembles la plus couramment utilisée en...) ou ZF, suivant que l'on comprend ou non l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable...) du choix. Pour abréger, on dit souvent schéma de remplacement, ou schéma de substitution.

Ce schéma étend le schéma d'axiomes de compréhension de la théorie de Zermelo. Son utilité n'intervient pas immédiatement. Il permet entre autres d'avoir " suffisamment " d'ordinaux, par exemple de définir la suite des alephs de Cantor, une suite indexée par les ordinaux, qui sont eux-mêmes des ordinaux qui représentent les cardinaux en présence de l'axiome du choix.

Le schéma d'axiomes

Informellement, le schéma de remplacement énonce que, un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) A étant donné, son image par une relation fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en...), est un ensemble.

Dit ainsi, cela peut paraître plus simple que cela n'est réellement. Il faut préciser ce que l'on entend par " relation fonctionnelle ". Il s'agit d'une " fonction partielle " (en un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) intuitif, pas au sens de la théorie), sur la classe de tous les ensembles, qui est définie par une formule du langage de la théorie. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) l'intérêt de l'axiome réside dans les cas où cette relation fonctionnelle ne correspond pas à une fonction de la théorie des ensembles étudiée, qui doit être alors définie comme un ensemble, (essentiellement un ensemble de couples). Dit autrement, on peut parler de classe fonctionnelle. Les cas particuliers où la classe fonctionnelle n'est pas une classe propre se déduisent des axiomes de la théorie de Zermelo (voir couple (mathématiques)).

Une autre façon d'énoncer le schéma de remplacement, équivalente en présence du schéma de compréhension, est d'ailleurs de dire que la restriction d'une classe fonctionnelle à un ensemble définit une fonction (qui peut être une fonction partielle sur l'ensemble en question).

Voyons comment écrire l'axiome dans le langage de la théorie des ensembles. Tout d'abord, étant donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) un prédicat (Les prédicats d’une théorie sont les formules qui contiennent des variables libres.) à deux arguments, c’est-à-dire une formule F à deux variables libres x et y plus d'éventuels paramètres a1ap, on doit écrire que la relation entre x et y décrite par cette formule est fonctionnelle (a1ap étant fixés) :

xyy' [(F x y a1ap et F x y' a1ap) ⇒ y = y' ].

On peut donc écrire formellement le schéma d'axiomes ainsi (l'emploi des majuscules pour A et B, qui n'a aucune signification propre — il n'y a que des ensembles en théorie des ensembles — ne sert qu'à la lisibilité) :

a1ap { ∀xyy' [(F x y a1ap et F x y' a1ap) ⇒ y = y' ] ⇒ ∀ABy [yB ⇔ ∃ x(xA et F x y a1ap) ] }

ce pour toute formule F n'ayant d'autres variables libres que x, y, a1, … ,ap.

Notez qu'il y a un axiome pour chaque prédicat F ; il s'agit donc bien d'un schéma d'axiomes. La formule F, les paramètres a1ap et l'ensemble A étant fixé, l'ensemble B ainsi défini est unique par l'axiome d'extensionnalité.

On utilise parfois une notation qui parle plus directement à l'intuition comme y = ?(x) pour une classe fonctionnelle F x y (on pourrait bien sûr ajouter des paramètres), dans le cas où la relation F est définie sur tout l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) des ensembles. Le remplacement justifie cette notation, puisque ?(x) désigne l'unique ensemble obtenu par remplacement à partir de x pour la relation F.

Les formes de notation en compréhension comme  :

{f(x) | x ∈ A}.

sont utilisées la plupart du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) quand f est une fonction (donc un ensemble) définie sur A, et dans ce cas leur justification se fait par le schéma de compréhension.

Utilisation du schéma de remplacement

Le schéma d’axiomes de remplacement est par exemple utile pour les définitions par induction sur la classe de tous les ordinaux. Le schéma de remplacement est " inutile " si la relation fonctionnelle en jeu est un ensemble de couples, c’est–à–dire si c’est une fonction au sens de la théorie des ensembles. Dans ce cas, le schéma d'axiomes de compréhension, qui est plus simple à comprendre et à utiliser, suffit essentiellement (il faut l’axiome de la paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) pour pouvoir construire les couples — voir l’article couple).

Par ailleurs, le schéma d'axiomes de compréhension est une conséquence — on pourrait même dire un cas particulier — du schéma de remplacement. De même l’axiome de la paire se déduit du schéma de remplacement en présence de l’axiome de l'ensemble des parties (voir chacun de ces articles).

Variantes

Une variante assez inessentielle, mais que l’on peut rencontrer, est de modifier le schéma de remplacement tel qu’énoncé ci-dessus, en supposant qu’en plus d’être fonctionnelle, la relation définie par F (avec les notations ci-dessus) est partout définie sur l’ensemble auquel s'applique l’axiome (A avec les notations ci-dessus).

Ainsi modifié, le schéma d’axiomes est évidemment conséquence du schéma original. Réciproquement, dès que l’on a une relation fonctionnelle définie en au moins un élément a de A, et dont nous appellerons b l’image par cette relation, on complète la relation F en associant b à tout élément de AF n’est pas définie. On a ainsi déduit le schéma d’axiomes original de sa forme modifiée … sauf dans le cas où la relation fonctionnelle restreinte à A est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.). Ce cas n’est utile que pour définir l’ensemble vide. Et donc il faut énoncer l’axiome de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) pour déduire la forme originale de la forme modifiée, en particulier pour déduire le schéma d'axiomes de compréhension dans toute sa généralité. Cela ne milite pas pour ce choix.

Une variante, qui peut présenter un intérêt dans certains contextes, est celle du schéma d'axiomes de collection.

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