Constante d'Euler-Mascheroni
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En mathématiques, la constante d'Euler-Mascheroni est une constante mathématique, utilisée principalement en théorie des nombres, définie comme la limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

La constante d'Euler-Mascheroni γ est définie comme étant :

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right),

ou, de façon condensée :

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} - \ln(n) \right).

La série harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les...) diverge, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) comme la suite de terme général ln(n) ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées.

Propriétés

Propriétés générales

On ignore toujours si la constante d'Euler-Mascheroni est ou non un nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .). Cependant, l'analyse en fraction continue de la constante indique que si elle est rationnelle, son dénominateur possède plus de 10242080 chiffres décimaux.

Autres formulations

La constante peut être définie sous la forme explicite d'une série (telle qu'elle fut d'ailleurs introduite par Euler) :

\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \log \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right].

Elle est également donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par plusieurs intégrales :

\gamma = \int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,dx (où E est la fonction partie entière)
= - \int_0^\infty { e^{-x} \log x }\,dx
= - \int_0^1 { \log\log\left(\frac{1}{x}\right) }\,dx
= \int_0^\infty {\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right)e^{-x}  }\,dx
= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right) }\,dx.

D'autres intégrales mettant en scène γ sont :

\int_0^\infty { e^{-x^2} \log(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}
\int_0^\infty { e^{-x} (\log(x))^2 }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}.

Il est possible d'exprimer γ sous forme d'une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle...) double (avec ici la série équivalente) :

\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n}-\log \left( \frac{n+1}{n} \right) \right).

Par ailleurs :

\log \left( \frac{4}{\pi} \right) =  \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log \left(  \frac{n+1}{n} \right) \right).

Les deux constantes sont également liées par deux séries :

\gamma = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)}
\log \left( \frac{4}{\pi} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)}

N1(n) et N0(n) sont le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de 1 et de 0 dans l'écriture de n en base 2.

On trouvera d'autres expressions non classiques de la constante d'Euler dans l'article Mesures secondaires

Relation avec certaines fonctions

La constante d'Euler-Mascheroni possède des liens avec d'autres fonctions particulières :

  • Fonction gamma :
    \Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,dt = {1 \over {ze^{\gamma z} \displaystyle{\prod_{n=1}^\infty (1+z/n)e^{-z/n}}}}
  • Fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines...) intégrale :
    E_1(z) = \int_z^\infty {e^{-t} \over t}\,dt = \int_1^\infty {e{-zt} \over t}\,dt = e^{-z}\int_0^\infty {e^{-zt} \over {1+t}}\,dt
    = {e^{-z} \over z} \int_0^\infty {e{-t} \over {1+t/z}}\,dt = - lnz - \gamma + \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}z^n \over n.n!}
  • Fonction psi :
    \Psi(z) = {\Gamma'(z) \over \Gamma(z)} = - \gamma - {1 \over z} + \sum_{n=1}^\infty {1 \over n} - {1 \over n+z}
    En particulier, \Psi(1) = \Gamma'(1) = - \gamma \, et \sum_{k=1}^n {1 \over k}= \Psi(n+1) + \gamma

Généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon...)

Il est possible de généraliser le sujet en définissant les constantes suivantes :

\gamma (m) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(  \sum_{k=1}^n \frac{(\ln k)^m}{k}  - \frac{(\ln n)^{m+1}}{m+1} \right).

On constate que γ(0) = γ, la constante d'Euler.

Valeur approchée

La 100 premières décimales de la constante d'Euler-Mascheroni sont :

\gamma\, ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495

Calcul numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...) de γ

Le calcul numérique de γ est un moyen pédagogique simple pour se sensibiliser aux problèmes de propagation d'erreur d'arrondi (Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre obtenue, à partir de son développement décimal, en réduisant le nombre de chiffres significatifs. Le résultat est...). En simple précision, pour 100 000 points, en sommant dans l'ordre naturel, on obtient une erreur sur la 4ème décimale, erreur beaucoup plus faible si on fait cette somme dans l'ordre inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel...) (du plus petit au plus grand), ou si on utilise l'algorithme de Kahan (cf. Somme (algorithmique)). Pour 1 000 000 de points, la divergence atteint la 2e décimale dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) naturel, et la 4e décimale dans le sens inverse ; par contre, par la méthode de Kahan, on a atteint les 6 décimales exactes.

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