Constante de Meissel-Mertens
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En mathématiques, la constante de Meissel-Mertens (également nommée dans la littérature mathématique constante de Mertens, constante de Kronecker, constante d'Hadamard-de la Vallée-Poussin ou constante des inverses des nombres premiers) est une constante mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...), utilisée principalement en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) des nombres, définie comme la limite de la différence entre la série des inverses des nombres premiers et du logarithme naturel (En mathématiques le logarithme naturel ou logarithme népérien, est le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui...) du logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement positif différent de 1 est une...) naturel.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit (S_n)_{n\in\mathbb{N}} = \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} la suite définie comme la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à n. La constante de Meissel-Mertens (En mathématiques, la constante de Meissel-Mertens (également nommée dans la littérature mathématique constante de Mertens, constante de Kronecker, constante d'Hadamard-de la Vallée-Poussin ou constante des inverses des...) M est définie comme étant :

M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( S_n - \ln(\ln(n)) \right).

La série des inverses des nombres premiers diverge, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) comme la suite de terme général ln(ln(n)) ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées : \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} = \ln(\ln(n)) + M + o(1) (où o(1) est une notation de Landau).

Propriétés

La constante de Meissel-Mertens peut être exprimée en fonction de la constante d'Euler-Mascheroni γ, qui possède une définition similaire impliquant la différence entre la somme de l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que...) de tous les nombres entiers et le logarithme naturel :

M = \gamma + \sum_{p=1}^{\infty} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right].

Le fait qu'il existe deux logarithmes naturels (ln de ln) dans la limite pour la définition constante de Meissel-Mertens peut être perçu comme une conséquence de la combinaison (Une combinaison peut être :) du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) des nombres premiers et de la limite définissant la constante d'Euler-Mascheroni.

Estimation

La constante de Meissel-Mertens est évaluée à :

M ≈ 0,26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585 9
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