Règle de trois
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La règle de trois (La règle de trois, aussi appelée produit croisé, permet de résoudre de nombreux problèmes concernant des phénomènes proportionnels.), aussi appelée produit croisé, permet de résoudre de nombreux problèmes concernant des phénomènes proportionnels.

Explication

Le principe de la règle de trois consiste à se ramener à l'unité.

Prenons un exemple :

La question que nous souhaitons résoudre est :

Si pour fabriquer 5 objets il faut 7 heures (L'heure est une unité de mesure  :) de travail, combien d'heures faut-il pour fabriquer 8 objets ?
  • Déterminons le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) nécessaire à la production d'un objet :

En 7 heures, sont fabriqués 5 objets. Donc la fabrication d'1 objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les...) dure \frac 75 heures de travail (5 fois moins de temps).

  • Nous pouvons donc en déduire le temps nécessaire à la production de 8 objets :

Si pour 1 objet il faut \frac 75 heures, alors pour 8 objets il faut 8 fois plus de temps soit \frac 75\times 8 heures de travail.

Le terme de Règle de trois provient du fait qu'elle fait intervenir 3 nombres (ici 5, 7, 8). La mise en place d'une règle de trois nécessite une rédaction rigoureuse pour placer ces trois nombres dans la fraction finale. Cette rédaction peut être avantageusement remplacée par un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.). De plus, l'utilisation d'un tel tableau permet d'utiliser l'égalité du produit en croix (égalité du produit des diagonales).

Soit x le temps de fabrication de 8 objets : :

5 1 8
7 \frac 75 x = \frac{7 \times8}{5}

Ici, on passe de la première colonne à la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. ...) colonne en divisant par 5, puis de la seconde colonne à la troisième colonne en multipliant par 8.

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) manquant est donc x = 11,2h = 11h12min.

Le tableau de proportionnalité permet de raccourcir encore le raisonnement en mécanisant le calcul. On peut trouver directement le résultat de cette façon :

5 8
7 x = \frac{7 \times8}{5}

Le résultat final s'obtient en effectuant le produit des deux termes d'une diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) et en divisant par le terme restant.

x = \frac{7\times 8}{5}.

C'est sous cette forme qu'elle est maintenant présentée en France.

Exemples

Exemple 1

Le prix des pommes est de 5 € le kg, j'en achète 1,5 kg, combien devrai-je payer ?

Kg Prix en €
1 5
1,5 x

x = \frac{1,5\times 5}{1} = 7,5

Donc, je devrai payer 7,5 €.

Exemple 2

On dispose d'un plan dont l'échelle indique que : 2 cm \hat = 15 km.
On veut connaître la distance à vol d'oiseau (Un oiseau (ou classe des Aves) est un animal tétrapode appartenant à l'embranchement des vertébrés. S'il existe près de 10 000 espèces d'oiseaux, très différentes...) entre 2 villes.
Pour cela, on mesure sur le plan la distance entre les points indiquant le lieu géographique de ces villes. On trouve 12,2 cm.

Plan 2 12,2
Terrain 15  ?

D'après la règle de trois, on effectue ce petit calcul :

x = \frac{12,2\times 15}{2} = 91,5

Ainsi la distance sur le terrain est : 91,5 km.

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