Univers (mathématiques)
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En théorie des probabilités, un univers, souvent noté Ω,U ou S, est l'ensemble de tous les résultats possibles que nous pouvons obtenir au cours d'une expérience aléatoire.

Définitions

À chaque élément ω de l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.), c'est-à-dire à chacun des résultats possibles de l'expérience considérée, nous pouvons associer le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut...) {ω} constitué de cet élément, appelé évènement élémentaire. De manière plus générale, toute partie de l'univers est appelée simplement un évènement.

On parle également d'espace des évènements élémentaires ou d'espace des observables, ou encore d'espace échantillon (De manière générale, un échantillon est une petite quantité d'une matière, d'information, ou d'une solution. Le mot est utilisé dans différents domaines :).

Par exemple, si nous lançons une pièce, nous avons deux résultats possibles : pile ou face. l'expérience aléatoire considérée est alors : " 1 lancer de pièce ". Nous pouvons définir l'univers associé à cette expérience, qui regroupe tous les résultats possibles : Ω ≡ {pile, face}. Pour une expérience de lancer de dé, nous choisirions l'univers Ω ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

À n'importe quel univers discret (fini et/ou dénombrable), on peut associer une probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de...), qui est entièrement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur les évènements élémentaires (et lorsque l'univers n'est pas discret, on appelle évènement toute partie dont on peut définir la probabilité).

Ainsi, à chaque évènement est associable une probabilité de réalisation (par exemple, pour le lancer de dé, à chaque évènement de l'univers {1, 2, 3, 4, 5, 6} est associé une probabilité égale à 1/6).

Toute définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de probabilité commence par la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique, la recherche scientifique désigne...) d'un univers de tous les évènements réalisables et par la définition précise de tous les évènements utiles à sa résolution.

La recherche de l'univers consiste à représenter de manière unique les résultats possibles de l'expérience par des objets mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) (nombres, p-listes, p-listes d'éléments distincts, parties d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...), permutations, suites, ...) pour former un ensemble.

Choix de l'univers

Pour certains types d'expériences, nous pouvons définir plusieurs univers différents. Par exemple, quand nous tirons une carte d'un jeu de 52 cartes, nous pouvons nous intéresser au rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application...) de la carte dans le jeu et définir l'univers comme l'ensemble des entiers de 1 à 52 ; d'autre part, nous pouvons nous intéresser à la couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).) de la carte obtenue et définir l'univers comme étant l'ensemble {pique, cœur, carreau, trèfle}. Pour avoir une description complète d'un résultat, nous serions amenés à préciser la couleur et le rang de la carte, et à définir dans ce cas l'univers comme le produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la...) de ces deux ensembles : Ω ≡ {pique, cœur, carreau, trèfle} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as}.

Pour choisir l'univers, nous devons aussi tenir compte des probabilités qui entrent dans la définition de l'expérience aléatoire. Par exemple, il est possible de considérer un univers sur lequel il y a équiprobabilité, c'est-à-dire sur lequel la probabilité est uniforme (par exemple, pour le lancer de dé, si le dé est non truqué, il y a équiprobabilité pour chacun des évènements dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

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