Ensemble fini - Définition et Explications

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En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.

On note alors le nombre d'éléments de E, ou la cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des...) de E :

Card(E) = n
#E = n
|E| = n

Par convention, l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) a pour cardinal 0.

E est fini au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) de Dedekind s’il n'est pas infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...), c'est-à-dire si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) avec l'une de ses parties strictes (ou encore : toute injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) de E dans lui-même est surjective). E fini implique E fini au sens de Dedekind, mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) nécessite l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,...) du choix.

Caractérisation

Nous noterons | [a;b] | l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) [a ; b] \cap \mathbb{Z}.

Si F est en bijection avec E, un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une...) non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), alors F est non vide, et card(E) = card(F).

En effet, E est fini, donc en notant n son cardinal, il existe f : |[ 1 ; n ]| \rightarrow E une bijection, et par hypothèse, il existe g : E \rightarrow F.
La composée de bijections est une bijection, donc g \circ f : \rightarrow F est bijective.
Donc F est fini car en bijection avec les n premiers entiers naturels, et card(F) = n.

Parties

Soit n \in \mathbb{N*}, E un ensemble fini de cardinal n, a un élément de E (qui existe car E non vide). E \backslash \{a\} est fini de cardinal n - 1.

Si n = 1, alors E = {a}, donc E \backslash \{a\} = \varnothing qui est fini, et Card( \varnothing ) = 0 = 1-1.
Si n \ge 2, alors il existe h : |[1 ; n ]| \rightarrow E une bijection.
Si h(n) = a, alors \tilde h : |[1 ; n-1 ]| \rightarrow E \backslash \{a\} est encore bijective, donc E \backslash \{a\} est fini de cardinal n − 1.
Si h(n) \ne a, alors par bijectivité de h, il existe un unique l tel que h(l) = a \,.
On considère \begin{matrix}  \sigma : & |[1 ; n]| \rightarrow |[1 ; n ]| & \  \\ \ & \sigma(k) = k & \forall k \in |[1 ; n ]| \backslash \{l ; n \}  \\ \ & \sigma(l) = n & \  \\ \ & \sigma(n) = l & \  \end{matrix}
\sigma \circ \sigma = \operatorname{id}_{|[1 ; n ]|}, donc σ est bijective.
h \circ \sigma : |[1 ; n]| \rightarrow E est bijective comme composée, et h \circ \sigma (n) = a. On s'est ramené au cas précédent, et E \backslash \{a\} est fini de cardinal n − 1.

Toute partie d'un ensemble fini est finie.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) se fait par récurrence avec ce qui précède.

Opérations

La réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située...) d'ensembles finis est finie. Plus précisément, si A et B sont deux ensembles finis, alors A \cup B et A \cap B sont finis, et \operatorname{card} (A \cup B) = \operatorname{card} A + \operatorname{card} B - \operatorname{card} (A \cap B).

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