Ensemble fini - Définition et Explications

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En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.

On note alors le nombre d'éléments de E, ou la cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un...) de E :

Card(E) = n
#E = n
|E| = n

Par convention, l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) a pour cardinal 0.

E est fini au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de Dedekind s’il n'est pas infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui...), c'est-à-dire si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que...) avec l'une de ses parties strictes (ou encore : toute injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :) de E dans lui-même est surjective). E fini implique E fini au sens de Dedekind, mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) nécessite l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise....) du choix.

Caractérisation

Nous noterons | [a;b] | l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) [a ; b] \cap \mathbb{Z}.

Si F est en bijection avec E, un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels.) non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), alors F est non vide, et card(E) = card(F).

En effet, E est fini, donc en notant n son cardinal, il existe f : |[ 1 ; n ]| \rightarrow E une bijection, et par hypothèse, il existe g : E \rightarrow F.
La composée de bijections est une bijection, donc g \circ f : \rightarrow F est bijective.
Donc F est fini car en bijection avec les n premiers entiers naturels, et card(F) = n.

Parties

Soit n \in \mathbb{N*}, E un ensemble fini de cardinal n, a un élément de E (qui existe car E non vide). E \backslash \{a\} est fini de cardinal n - 1.

Si n = 1, alors E = {a}, donc E \backslash \{a\} = \varnothing qui est fini, et Card( \varnothing ) = 0 = 1-1.
Si n \ge 2, alors il existe h : |[1 ; n ]| \rightarrow E une bijection.
Si h(n) = a, alors \tilde h : |[1 ; n-1 ]| \rightarrow E \backslash \{a\} est encore bijective, donc E \backslash \{a\} est fini de cardinal n − 1.
Si h(n) \ne a, alors par bijectivité de h, il existe un unique l tel que h(l) = a \,.
On considère \begin{matrix}  \sigma : & |[1 ; n]| \rightarrow |[1 ; n ]| & \  \\ \ & \sigma(k) = k & \forall k \in |[1 ; n ]| \backslash \{l ; n \}  \\ \ & \sigma(l) = n & \  \\ \ & \sigma(n) = l & \  \end{matrix}
\sigma \circ \sigma = \operatorname{id}_{|[1 ; n ]|}, donc σ est bijective.
h \circ \sigma : |[1 ; n]| \rightarrow E est bijective comme composée, et h \circ \sigma (n) = a. On s'est ramené au cas précédent, et E \backslash \{a\} est fini de cardinal n − 1.

Toute partie d'un ensemble fini est finie.

La démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant...) se fait par récurrence avec ce qui précède.

Opérations

La réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar...) d'ensembles finis est finie. Plus précisément, si A et B sont deux ensembles finis, alors A \cup B et A \cap B sont finis, et \operatorname{card} (A \cup B) = \operatorname{card} A + \operatorname{card} B - \operatorname{card} (A \cap B).

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