Lemme de Zorn
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Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme :

Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal.

L'énoncé correspond au choix habituel du couple (1,3) dans la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) inductif ; si on y choisit le couple (1,4) on obtient un énoncé (apparemment) plus fort, parfois bien utile.

Ce " lemme " n'en est un que si l'on admet l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable...) du choix : en effet, les quatre énoncés obtenus en variant le choix de couple dans l'article ensemble inductif, sont équivalents à cet axiome. On peut donc aussi bien considérer le lemme de Zorn (Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme :) comme un axiome possible, et l'" axiome du choix " comme un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) qui serait sa conséquence.

L'intérêt de ce lemme est de permettre une utilisation aisée de l'axiome du choix sans avoir à utiliser la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des ordinaux. Cependant, pour qui connaît cette dernière, les constructions par récurrence transfinie sont plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives.

Exemples

(en vrac (Le vrac (du néerlandais wrac : mal salé, mauvais) désigne des marchandises qui ne sont pas emballées ou arrimées.) et incomplet dans ce chantier)

  • existence de bases d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de...) (en particulier, base de Hamel)
  • existence d'ultrafiltres non principaux
  • existence de la clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) d'un corps
  • théorème de Hahn-Banach
  • existence d'automorphismes de corps non continus de C
  • existence d'idéaux maximaux (théorème de Krull)
  • théorème de Tychonov (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)
  • théorème de Zermelo (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)

Histoire

  • Felix Hausdorff
  • Kazimierz Kuratowski
  • Max Zorn
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