Partition (mathématiques)
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Une partition d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X deux à deux disjoints et qui forment un recouvrement de X. Autrement dit P est une partition de X si et seulement si les parties de P sont non vides et tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément x de X se trouve dans l'une exactement de ces parties.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) X quelconque. Un ensemble P de sous-ensembles de X est une partition de X si :

  • Aucun élément de P n'est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (Dans certaines définitions cette condition est omise) ;
  • L'union des éléments de P est égal à X ;
  • Les éléments de P sont deux à deux disjoints.

Les éléments de P sont appelés les parties de la partition.

Exemples

L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes :

  • { {1}, {2}, {3} },
  • { {1, 2}, {3} },
  • { {1, 3}, {2} },
  • { {1}, {2, 3} } et
  • { {1, 2, 3} }.

Remarquons que

  • { {}, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.), noté {} ou \empty.
  • { {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie.
  • { {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} parce qu'aucun de ses éléments ne contient 3 ; c'est une partition de {1, 2}.

Dans le cas où toutes les parties de la partition ont même cardinal, on retrouve le lemme des bergers (Le lemme des bergers est une propriété triviale utilisée en mathématiques, notamment en analyse combinatoire.).

Partitions et relations d'équivalence

Si une relation d'équivalence est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) sur l'ensemble X, alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de X. Inversement, si une partition P de X est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur X notée ~, par x ~ y si et seulement s’il existe une partie de P qui contient à la fois x et y. Les notions de relation d'équivalence et de partition sont donc fondamentalement équivalentes.

Ordre partiel (Le mot partiel peut être employé comme :) sur les partitions : le treillis des partitions

L'ensemble de toutes les partitions d'un ensemble est partiellement ordonné : par définition, une partition est plus fine qu'une autre si elle fractionne les parties de l'autre en de plus petites parties. Cet ordre partiel forme un treillis complet où la borne inférieure est la partition grossière en un seul sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par...) et la borne supérieure la partition en singletons.

Nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de partitions d'un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers...)

  • Le nombre de Bell (Les nombres de Bell, qui portent le nom de Eric Temple Bell, se rencontrent souvent en combinatoire. Ces nombres forment une suite d'entiers qui commence ainsi:) Bn est le nombre de partitions différentes d'un ensemble à n éléments. Les premiers nombres de Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935. Après avoir construit des avions de combat durant la Seconde Guerre mondiale, mais aussi...) sont B0=1, B1=1, B2=2, B3=5, B4=15, B5=52, B6=203.

Les partitions par paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :)

  • Le nombre de partitions par paires d'un ensemble à 2n éléments est égal à \frac{(2n) !}{2^n n !}
  • Une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On...) d'un ensemble E sur un ensemble F transforme une partition de E par paire, en une partition de F par paire.
  • Tout ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un...) admet au moins une partition par paire.
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