Pendule inversé
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En physique, un pendule inversé est un pendule simple. Il présente une position d'équilibre instable s'il est maintenu vertical à 180°, mais cette position est maintenue par un système de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.) ou par excitation de Kapitza. C'est un problème de physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...) non-linéaire.

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) du mouvement

La situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus...) est exactement la même que celle décrite pour le pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant tourner...), en considérant une tige (La tige est chez les plantes à fleurs, l'axe, généralement aérien, qui prolonge la racine et porte les bourgeons et les feuilles. La tige se ramifie généralement en...) rigide mais de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de gravitation (la...) négligeable. On définit donc :

  • θ l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) formé entre la tige et la verticale ;
  • m la masse du pendule ;
  • l la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement développé.) de la tige ;
  • g l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...) de la pesanteur ;

On note les dérivées temporelles par un point :

\dot{\theta} = \frac{d \theta}{d t} et \ddot{\theta} = \frac{d {\dot{\theta}}}{d t}.

On peut alors établir la période des oscillations :

\omega_0^2 = \frac{g}{l}.

L'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son...) est :

E_c = \frac{m l^2 \dot{\theta}^2}{2}.

L'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle de gravité :

Ep = mgl(1 − cosθ).

Si le pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres...) est laissé libre, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie cinétique et d'énergie...), E = Ec + Ep. Alors, on obtient :

\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0.

La différence avec le pendule simple est que l'on s'intéresse à la situation θ ≈ π [2π] ; cela correspond à un maximum de l'énergie potentielle, c'est-à-dire à un équilibre instable.

Pendule inversé (En physique, un pendule inversé est un pendule simple. Il présente une position d'équilibre instable s'il est maintenu vertical à 180°, mais cette position est maintenue par un système de contrôle ou par excitation de...) sur un chariot (Un chariot est un plateau équipé de quatre roues, et sert au transport de charges. Par extension on inclut également ceux à trois...)

Un pendule inversé sur un chariot.
Un pendule inversé sur un chariot.

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...) lagrangienne : en notant x(t) la position du chariot, θ(t) l'angle formé entre la tige et la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.), le système étant soumis à la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) et à une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...) F, extérieure et selon l'axe x, le lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système....) est :

L = TV

avec T l'énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.) et V l'énergie potentielle. On a ainsi :

L = \frac{1}{2} M v_1^2  + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

avec v1 la vitesse (On distingue :) du chariot et v2 celle de la masse m. On peut exprimer v1 et v2 à partir de x et θ :

v_1^2=\dot x^2 et v_2^2=\dot{\left( x+\ell\sin\theta \right)}^2 + \dot{\left( \ell\cos\theta\right)}^2

ce qui s'écrit encore :

v_2^2= \dot x^2 +2 \dot x \ell \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2.

Le lagrangien est donné par :

L = \frac{1}{2} \left(M+m \right ) \dot x^2 +m l \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m l^2 \dot \theta^2-m g l\cos \theta

et les équations du mouvement sont donc :

{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F ;
{\mathrm{d} \over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0.

En simplifiant ces équations, on obtient les équations, non-linéaires, du mouvement du pendule :

\left ( M + m \right ) \ddot x + m l \ddot \theta\cos \theta - m l \dot \theta^2 \sin \theta = F ;
m l \ddot \theta + m \ddot x \cos \theta = m g \sin \theta.
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