Une avancée majeure concernant la théorie des nombres premiers vient d'être réalisée grâce au travail réalisé par le Dr Tammy Ziegler du Département de Mathématiques du Technion en Israël, conjointement avec des collègues des Etats-Unis et de Grande-Bretagne.
Le travail que le Pr Tammy Ziegler et ses deux collègues, le Professeur Tao de l'UCLA et le Professeur Green de l'Université de Cambridge, ont récemment achevé a suscité un vif intérêt parmi les mathématiciens puisqu'il permet de résoudre des problèmes de base dans le domaine des nombres premiers.
La fascination pour les nombres premiers, explique le Pr Ziegler, est presque aussi ancienne que les mathématiques. Il y a déjà plus de 2000 ans, Euclide a montré que chaque entier naturel (à l'exception de 1) pouvait s'écrire comme un unique produit de nombres premiers. Euclide a également prouvé qu'il existait un nombre infini de nombres premiers. Sa démonstration "reductio ad absurdum" est encore considérée à l'heure actuelle comme l'une des démonstrations les plus élégantes en mathématiques. Elle revient à supposer qu'il existe un nombre fini de nombres premiers qui puisse être écrit comme une séquence P1 < P2 < ... < Pk, où Pk serait le nombre premier le plus grand de la suite. Considérons maintenant le nombre M qui est le produit de tous les éléments de la série + 1: M = P1 ＊ P2 ＊...＊ Pk + 1. M étant plus grand que Pk, il ne devrait pas être premier. Or M n'est divisible par aucun élément de la séquence, puisqu'il aura toujours un reste de 1. Ceci contredit ainsi l'hypothèse selon laquelle il existerait un nombre fini de nombres premiers.
Se posait alors la question de savoir à quelle fréquence apparaissent les nombres premiers. Il était en effet intéressant d'avoir une estimation quantitative. Intuitivement nous savons qu'il existe plus de nombres pairs que de nombres divisibles par trois, et plus de nombres divisibles par trois que de nombres qui soient des racines carrées parfaites. En effet, si nous prenons un très grand nombre (par exemple N = 109), nous savons qu'il comprend environ N/2 nombres pairs, N/3 nombres qui soient divisibles par 3, et quelques racines carrées parfaites. Le Dr Ziegler explique que, pour ces cas-là, l'estimation est facile. En revanche, la démonstration faite par Euclide ne permet pas d'estimer la quantité de nombres premiers plus petits que N.
Plus de 2000 ans se sont écoulés avant qu'une formule puisse être établie, démontrant qu'il y a environ N/lnN nombres premiers plus petits que N. La formule a été conjecturée par Gauss et Legendre, en se basant sur des données numériques, puis a été prouvée de façon indépendante par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896.
L'étape suivante, selon le Dr Ziegler, consistait à trouver des modèles arithmétiques au sein de la séquence des nombres premiers, afin, notamment, de comprendre le comportement additif des nombres premiers. Par exemple, plusieurs paires de nombres premiers, où les deux nombres diffèrent l'un de l'autre de deux unités, sont connues et appelées "nombres premiers jumeaux". Il serait alors intéressant de savoir s'il existe un nombre infini de telles paires, mais à ce jour, la réponse à cette question échappe encore aux mathématiciens.
Une question connexe concernait l'existence de progressions arithmétiques dans la séquence de nombres premiers. Ce n'est qu'en 2004 que Green et Tao ont réalisé une avancée majeure dans le domaine en démontrant que l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues. Les deux chercheurs ont abordé le problème en utilisant des concepts de la théorie Ergodique, qui est une branche des mathématiques traitant de l'étude des systèmes dynamiques. Green et Tao ont ainsi prouvé l'existence de progressions arithmétiques dans la séquence des nombres premiers, mais leurs méthodes ne fournissaient aucune estimation du nombre de progressions arithmétiques de nombres premiers, dont tous les éléments seraient plus petits que N.
Ces estimations ont pu être finalement établies grâce à une collaboration entre les Dr Green, Tao et Ziegler, dont le travail porte sur le lien entre les progressions arithmétiques et les systèmes dynamiques nilpotents. Il serait vain d'essayer d'expliquer la contribution du Dr Ziegler en termes simples, mais ces résultats ont suscité un vif intérêt dans la communauté mathématique puisqu'ils ont permis d'établir des méthodes permettant de trouver des asymptotes aux progressions arithmétiques des nombres premiers.
