Un cas très joli à voir est la solution particulière (E1) : {u;-u} ⇒ {0;2u}
C'est spectaculaire sur des bancs à coussins d'air légèrement inclinés et raboutés : la masse M1 s'arrête et la masse M2 s'en retourne 4 fois plus loin !!
Mais de ce fait, on connaît la classe C[(E1)].Choisissons une autre unité, juste par commodité des calculs ultérieurs : {2u;-2u} ⇒ {0;4u} et DONC {2u+V;-2u+V} ⇒ {V;4u+V}.
Choisissons V = -u, et il vient cette expérience appelée (R): {u;-3u}⇒ {-u;3u}
On reconnaît dans (R) le renversement des vitesses.
Et là, l'intuition géniale parle : est-ce toujours ainsi ?
le cas général
Oui; parce que Descartes l'a dit, un peu ingénument, la quantité de mouvement totale:
Le cas du paragraphe précédent, avec un objet1 de masse 3 m et de vitesse u, un objet2 de masse m et de vitesse -3u, a une quantité de mouvement totale nulle: P = 3m .u + m .(-3u) = 0.
Bien sûr, Huygens va le voir et le généraliser. Nous nommons (R), pour "renversement des vitesses", le cas où P = 0 avec maintenant des objets de masses quelconques m1 et m2. Le choc transforme les vitesses selon:
{m2/M .u ; -m1/M .u} ⇒ { -m2/M .u ; m1/M .u} , où M = m1 + m2.
On en déduit la classe C[(R)]:
{m2/M .u + V ; m1/M .u + V} ⇒ {-m2/M .u + V ; -m1/M .u + V }
ce qui permet d'avoir la solution générale:
{v1;v2} ⇒ {w1;w2} avec w1 = A.v1 + B.v2 et w2 = C.v1 + D.v2 ,
;
,
on laisse au lecteur le soin de deviner C.
Pour des lecteurs avertis, tous ces raisonnements sont valables en relativité restreinte, puisque la logique y est parfaite, mais c'est l'addition des vitesses qu'Einstein modifiera.
Choc élastique de 2 particules
Dans R*, l'énergie p*²/2m ( avec 1/m = 1/m1 +1/m2) se conserve donc le module de p* aussi, donc
p. 1 = p'* + P. m1/M et p. 2 = -p'* + P. m2/M, l'orientation de p'* restant indéterminée sans autre précision.
Si les masses sont égales et M2 au repos, M1 et M2 repartent à angle droit ( c'est la règle dite du billard sans effet, cf billard). Par contre si m1>m2, M1 ne peut reculer et sinθ1max = m2 / m1. Enfin si m1
Explosion d'un obus en 2 masses m1 et m2
C'est le cas le plus simple : tout reste dans un plan. On néglige pour l'instant la gravité: tout a lieu dans un temps infiniment court.
L'obus ayant une vitesse V on se place dans le référentiel galiléen R* où V = 0 : donc P* = 0
Donc les deux quantités de mouvements sont p. 1* = -(p. 2*)/2.5 = p* et l'énergie cinétique p*²/2(1/m1+1/m2) = Q =énergie de l'explosion (forcément positive). On en déduit v1* et v2* d'où v1= v1* + V
La direction de v1 n'est donc pas v1* : c'est le phénomène d'aberration usuelle (penser à la pluie).
Si l'on fait intervenir la gravité uniforme, on trouve que le centre de masse des fragments suit la trajectoire qu'aurait eu G si l'obus n'avait pas explosé : ceci n'est pas vrai pour un satellite! (erreur commune).
Section efficace
ébauche à finir
ce paragraphe est d'un niveau beaucoup plus élevé.
Il consiste à déterminer pour un point d'impact B dan le plan de section droite de la cible M2, de trouver la trajectoire asymptotique de M1 : on appelle souvent θ cet angle fonction de M2B = b et de la loi d'interaction de potentiel U(r) entre les particules ( loi dite de diffusion (scattering in english).
Mieux encore, à partir des relevés expérimentaux, peut-on inversement déterminer U(r) : problème dit de scattering inverse ( Firsov 1953; puis Lax…): comme dans le cas des puits de potentiel, on sait le faire, via une transformation d'Abel modifiée. référence Landau p. 75).
Mais il faut bien dire que la réalité nucléaire est plus complexe : les vitesses sont relativistes; la mécanique doit de plus être quantique et met parfois en jeu l'indiscernabilité ( cf Feynman à un niveau Licence).
Dans le cas des liquides, où les forces d'attraction de Van der Waals sont en jeu, on comprend bien qu'à faible vitesse, le diamètre apparent des disques d'impact, (4.r), va augmenter : cela explique des variations dues à la température T du libre parcours moyen .
