Courbe plane - Définition

Reparamétrage

Soient une courbe plane différentiable, et t = t(s) une fonction définie sur l'intervalle S et à valeurs dans I. Alors la courbe :

telle que pour tout , est un reparamétrage de la courbe α. Le reparamétrage est dit régulier si t(S) = I et si .

On vérifie alors le théorème suivant : si est un reparamétrage de la courbe α par t = t(s) alors

Démonstration

Si α(t) = (φ(t),ψ(t)) alors β(s) = (φ(t(s)),ψ(t(s))) et d'après les théorèmes de dérivation des fonctions composées, on a :

et ainsi on obtient :

Cosinus directeurs

D'après la définition même de la dérivée, on obtient :

ce qui, d'un point de vue géométrique, représente la pente de la droite tangente à la courbe, autrement dit la tangente (au sens trigonométrique du terme) de l'angle que cette tangente forme avec l'axe horizontal (l'axe des 'x'). De cette relation, on peut extraire les cosinus directeurs de la tangente à la courbe :

Abscisse curviligne

On définit l'abscisse curviligne ou paramètre longueur d'arc comme étant le reparamétrage particulier obtenu en fixant la borne inférieure d'intégration a, de façon à ce que l'intégrale ne dépende que de la borne supérieure t, vue comme variable. Cette fonction est, géométriquement, la longueur de l'arc de courbe à partir d'un point fixe a, affectée éventuellement d'un signe. Il est toujours possible de paramétrer de nouveau la courbe selon l'abscisse curviligne. Dans ce cas, pour déterminer la tangente en un point, on sait qu'elle est parallèle à un vecteur tangent unitaire. On démontre que l'on peut toujours paramétrer de nouveau une courbe au moyen de l'abscisse curviligne de la façon suivante :

étant donné que , on peut inverser s(t), et son inverse est t = t(s). Alors on obtient le reparamétrage par l'abscisse curviligne donné par : β(s) = α(t(s)).

On démontre ensuite que le vecteur tangent est unitaire :

.

Longueur d'une courbe

Longueur d'un arc paramétré

Soient α(t) = (φ(t),ψ(t)) une courbe différentiable sur I, et . Alors la longueur de l'arc de courbe compris entre α(a) et α(b) vaut :

.

Si de plus β(s) est un reparamétrage de la courbe, alors :

.

Longueur et forme cartésienne explicite

Si la courbe est représentée sous forme cartésienne explicite y = f(x) alors, comme et , la longueur de la courbe est donnée par :

.

Paramétrage avec les coordonnées polaires planes

Une forme de paramétrage qui revêt une importance notable dans l'étude des mathématiques, de la géométrie et dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, est celle des coordonnées polaires planes. Étant donnée une courbe paramétrée en coordonnées polaires par la forme cartésienne r = r(θ), avec c ≤ θ ≤ d, et par la forme paramétrée :

, de paramètre θ.

Alors ses dérivées sont :

et donc la longueur de l'arc est :

.

Formules de Frenet

Une courbe (suffisamment régulière) de l'espace possède, en tous ses points, un système de référence, dit trièdre de Frenet, donné par un triplet de vecteurs tangent, normal e binormal. Une telle courbe est plane si et seulement si le vecteur binormal est toujours nul.

Soit β(s) = (φ(s),ψ(s)) une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne. Le vecteur unitaire tangent est déterminé par :

T(s) = β'(s) = (φ'(s),ψ'(s)).

Le vecteur unitaire normal est déterminé par :

où i est le nombre complexe tel que i² = − 1. Grâce à la définition de la courbure, on peut donner une autre forme au vecteur unitaire normal :

On démontre que le vecteur T' est orthogonal à T et donc parallèle à N.

Finalement, les formules de Frenet et la courbure pour une courbe plane, quel que soit son paramétrage α(t) = (φ(t),ψ(t)), sont :