Jeudi 1er Mai 2025
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Équations de Friedmann - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
- Introduction - Les deux équations de Friedmann - Solutions avec plusieurs espèces - Quelques solutions particulières - Interprétation - Autres écritures - Dérivation des équations de Friedmann

Solutions avec plusieurs espèces

Dans le cas où plusieurs espèces ou formes de matière emplissent l'univers et participent notablement aux équations de Friedmann, il faut tenir compte de leurs équations d'état respective et de leur abondance relative. Dans le cas de deux espèces, par exemple, la première équation de Friedmann se réécrit

3 \left(\frac{H^2}{c^2} + \frac{K}{a^2} \right) = \frac{8 \pi G}{c^4} \left(\rho_1 + \rho_2\right) .

Si l'on appelle w et w les rapports de la pression à la densité d'énergie de chacune des deux espèces et qu'on les suppose constants au court du temps, on peut réécrire cette équation à l'aide de diverses variables adimensionnées, sous la forme

\left(\frac{{\rm{d}}x}{x H_0 {\rm{d}} t}\right)^2 = \left[\Omega^0_1 x^{-3(1 + w_1)}+ \Omega_2^0 x^{-3(1 + w_2)}\right] ,

où l'on a défini, à partir d'un époque de référence notée avec l'indice ou l'exposant 0 la densité critique \rho^0_{\rm{c}} par

\rho^0_{\rm{c}} = \frac{3 c^2 H^2_0}{8 \pi G} ,

ainsi que les quantités sans dimension appelées paramètres de densité \Omega_i^0 par

\Omega_i^0 = \frac{\rho_i^0}{\rho_{\rm{c}}^0} ,

et le facteur d'échelle normalisé, x, par x = a / a0.

En prenant une époque de référence, que l'on note avec l'indice ou l'exposant 0, on a

3 \left(\frac{H^2}{c^2} + \frac{K}{a^2} \right) = \frac{8 \pi G}{c^4} \left[\rho^0_1 \left(\frac{a_0}{a}\right)^{3(1 + w_1)}+ \rho_2^0 \left(\frac{a_0}{a}\right)^{3(1 + w_2)}\right] .

On introduit la densité critique \rho^0_{\rm{c}} par

\rho^0_{\rm{c}} = \frac{3 c^2 H^2_0}{8 \pi G} ,

ainsi que les quantités sans dimension appelées paramètres de densité \Omega_i^0 par

\Omega_i^0 = \frac{\rho_i^0}{\rho_{\rm{c}}^0} .

Ainsi, on obtient, en introduisant le facteur d'échelle normalisé x = a / a0,

\frac{H^2}{H_0^2} + \frac{K c^2}{H_0^2 a_0^2} \frac{1}{x^2} = \left[\Omega^0_1 x^{-3(1 + w_1)}+ \Omega_2^0 x^{-3(1 + w_2)}\right] .

En évaluant cette quantité à l'époque de référence, il vient alors

1 + \frac{K c^2}{H_0^2 a_0^2} = \Omega^0_1 + \Omega_2^0 ,

d'où finalement

\left(\frac{{\rm{d}}x}{x H_0 {\rm{d}} t}\right)^2 + \left(\Omega^0_1 + \Omega_2^0 - 1\right)\frac{1}{x^2} = \left[\Omega^0_1 x^{-3(1 + w_1)}+ \Omega_2^0 x^{-3(1 + w_2)}\right] .
 

Cette expression se simplifie quand la densité totale égale la densité critique, ou, de façon équivalente quand la somme des paramètres de densité vaut 1. On a alors

\left(\frac{{\rm{d}}x}{x H_0 {\rm{d}} t}\right)^2 = \left[\Omega^0_1 x^{-3(1 + w_1)}+ \Omega_2^0 x^{-3(1 + w_2)}\right] .

Chacune de ces deux expressions se généralise à un nombre arbitraire de composantes. Des solutions exactes existent pour certaines valeurs des paramètres w et w.

En particulier, dans le cadre du modèle standard de la cosmologie, l'univers peut être décrit comme étant rempli de trois types d'espèce : de la matière relativiste (neutrinos et rayonnement), de la matière non relativiste (matière baryonique et matière noire), et de l'énergie noire, que l'on va ici approximer par une constante cosmologique. Les abondances relatives de ces espèces, qui varient avec le temps font qu'il n'arrive jamais qu'elles coexistent avec chacune des densités d'énergie significatives. À l'époque actuelle, on trouve essentiellement de l'énergie noire et de la matière non relativiste, alors qu'aux époques reculées, on trouvait de la matière relativiste et non relativiste, la constante cosmologique étant négligeable. Ceci vient du fait que les abondances de ces différents types de matière varient au cours du temps selon 1 / x3(1 + w) : la densité d'énergie associée à la constante cosmologique reste constante, alors que celle de la matière relativiste ou non relativiste croît à mesure que l'on remonte vers le passé.

Poussière et radiation

Quand on remonte vers le passé, les densités de matière non relativiste (« poussière ») ou relativiste (« radiation ») croissent comme x − 3 et x − 4 respectivement. On a donc

\left(\frac{{\rm{d}}x}{x H_0 {\rm{d}} t}\right)^2 = \left[\frac{\Omega^0_{\rm{m}}}{x^3} + \frac{\Omega^0_{\rm{r}}}{x^4}\right] ,

avec

\Omega^0_{\rm{r}} = 1 - \Omega^0_{\rm{m}} .

L'intégration donne

\frac{4 \left(1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right)^\frac{3}{2}}{3\left(\Omega^0_{\rm{m}}\right)^2} \left[1 - \sqrt{1 + \frac{\Omega^0_{\rm{m}} x}{1 - \Omega^0_{\rm{m}}}}\left(1 - \frac{1}{2}\frac{\Omega^0_{\rm{m}} x}{1 - \Omega^0_{\rm{m}}}\right)\right] = H_0 t .

On simplifie l'équation de départ en

\left(\frac{x {\rm{d}}x}{H_0 {\rm{d}} t}\right)^2 = \left[\Omega^0_{\rm{m}} x + 1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right] ,

soit

\frac{x {\rm{d}}x}{\sqrt{\Omega^0_{\rm{m}} x + 1 - \Omega^0_{\rm{m}}}} = H_0 {\rm{d}} t .

On effectue le changement de variable

u = \sqrt{\Omega^0_{\rm{m}} x + 1 - \Omega^0_{\rm{m}}} ,

dont on tire

x = \frac{u^2 - \left(1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right)}{\Omega^0_{\rm{m}}} ,
{\rm{d}} x = \frac{2 u {\rm{d}} u}{\Omega^0_{\rm{m}}} .

L'équation à résoudre devient

\frac{2 \left[u^2 - \left(1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right)\right]{\rm{d}} u}{\left(\Omega^0_{\rm{m}}\right)^2} = H_0 {\rm{d}} t ,

qui s'intègre immédiatement en

\frac{2}{\left(\Omega^0_{\rm{m}}\right)^2} \left[\frac{u^3}{3} - \left(1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right) u\right]^u_{u_i} = H_0 t ,

la quantité ui correspondant à la valeur x = 0, soit \sqrt{1 - \Omega^0_{\rm{m}}} . On trouve alors

\frac{2}{\left(\Omega^0_{\rm{m}}\right)^2} \left[\sqrt{\Omega^0_{\rm{m}} x + 1 - \Omega^0_{\rm{m}}} \left( \frac{\Omega^0_{\rm{m}} x + 1 - \Omega^0_{\rm{m}}}{3} - \left(1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right)\right) + \frac{2}{3} \left(1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right)^\frac{3}{2} \right] = H_0 t ,

soit

\frac{4 \left(1 - \Omega^0_{\rm{m}}\right)^\frac{3}{2}}{3\left(\Omega^0_{\rm{m}}\right)^2} \left[1 - \sqrt{1 + \frac{\Omega^0_{\rm{m}} x}{1 - \Omega^0_{\rm{m}}}}\left(1 - \frac{1}{2}\frac{\Omega^0_{\rm{m}} x}{1 - \Omega^0_{\rm{m}}}\right)\right] = H_0 t .
 

Selon la valeur de x par rapport à \frac{1 - \Omega^0_{\rm{m}}}{\Omega^0_{\rm{m}}} , qui correspond à l'époque de transition où densité de matière relativiste et non relativiste sont égales, on retrouve deux régimes précédemment étudiés. Pour les valeurs de x petites, on obtient

\frac{1}{2} x^2 = \sqrt{{\Omega^0_{\rm{r}}}}H_0 t ,

ce qui correspond au résultat pour l'univers de radiation trouvé ci-dessus, la valeur de H0 étant remplacée par \sqrt{{\Omega^0_{\rm{r}}}}H_0 , correspond à la valeur qu'aurait la constante de Hubble en l'absence de matière non relativiste.

Dans l'autre régime, on trouve

\frac{2}{3} x^\frac{3}{2} = \sqrt{{\Omega^0_{\rm{m}}}}H_0 t ,

qui là encore redonne le résultat de l'univers de poussière à la correction sur la valeur de la constante de Hubble près.

Poussière et constante cosmologique

Les seconds cas particuliers importants sont celui d'un univers dominé par de la matière non relativiste (w = 0) et dont la constante cosmologique (w = -1) devient dominante. C'est selon toute vraisemblance dans une situation similaire que se trouve notre univers, l'accélération de l'expansion de l'univers attestant de l'existence d'une forme de matière se comportant de façon assez voisine à une constante cosmologique. Dans ce cas, l'intégration des équations de Friedmann donne, avec \Omega_{\rm{m}}^0 = 1 - \Omega_\Lambda^0 ,

\frac{a}{a_0} = \left[\sqrt{\frac{1 - \Omega_\Lambda^0}{\Omega_\Lambda^0}} \sinh\left(\frac{3 \sqrt{\Omega_\Lambda^0}}{2} H_0 t\right) \right]^\frac{2}{3} .

On reprend à nouveau la même équation avec les variables réduites. Dans un univers spatialement plat, on a

\left(\frac{1}{x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}(H_0 t)}\right)^2 = \frac{1 - \Omega_\Lambda^0}{x^3} + \Omega_\Lambda^0 ,

que l'on peut réécrire en

\left(\frac{{\rm d}x}{{\rm d}(H_0 t)}\right)^2 = \frac{1 - \Omega_\Lambda^0}{x} + \Omega_\Lambda^0 x^2 ,

soit

\frac{{\rm d}x}{\sqrt{\frac{1 - \Omega_\Lambda^0}{x} + \Omega_\Lambda^0 x^2}} = {\rm d}(H_0 t) ,

ou bien

\frac{x^\frac{1}{2}{\rm d}x}{\sqrt{(1 - \Omega_\Lambda^0) + \Omega_\Lambda^0 x^3}} = {\rm d}(H_0 t) .

On pose

y = H0t,
u = x^\frac{3}{2} ,

ce qui permet de réécrire l'équation précédente en

\frac{2}{3 \sqrt{1 - \Omega_\Lambda^0}}\frac{{\rm d}u}{\sqrt{1 + \frac{\Omega_\Lambda^0}{1 - \Omega_\Lambda^0} u^2}} = {\rm d}y .

En posant

v = \sqrt{\frac{\Omega_\Lambda^0}{1 - \Omega_\Lambda^0}} u ,

d'où

\frac{2}{3 \sqrt{\Omega_\Lambda^0}}\frac{{\rm d}v}{\sqrt{1 + v^2}} = {\rm d}y .

Cette équation peut s'intégrer en

\frac{2}{3 \sqrt{\Omega_\Lambda^0}} \arg\sinh(v) = y ,

que l'on inverse en

\sinh\left(\frac{3 \sqrt{\Omega_\Lambda^0}}{2} y\right) = v ,

soit

\sinh\left(\frac{3 \sqrt{\Omega_\Lambda^0}}{2} y\right) = \sqrt{\frac{\Omega_\Lambda^0}{1 - \Omega_\Lambda^0}} u ,

et finalement

\frac{a}{a_0} = \left[\sqrt{\frac{1 - \Omega_\Lambda^0}{\Omega_\Lambda^0}} \sinh\left(\frac{3 \sqrt{\Omega_\Lambda^0}}{2} H_0 t\right) \right]^\frac{2}{3} .
 

Pour les temps petits, on peut effectuer un développement limité qui redonne le comportement en t^\frac{2}{3}  :

\frac{a}{a_0} \sim \left[\frac{3}{2} \sqrt{\Omega_{\rm{m}}^0} H_0 t \right]^\frac{2}{3} .

On retrouve exactement la formule déjà obtenue pour un univers de poussière, à ceci près que c'est \sqrt{\Omega_{\rm{m}}^0} H_0 qui apparaît au lieu de H0. Ceci provient du fait qu'en l'absence de constante cosmologique, la constante de Hubble serait réduite d'un facteur \sqrt{\Omega_{\rm{m}}^0} . Le fait que l'on retrouve la formule de l'univers de poussière provient du fait qu'à ces époques, la constante cosmologique est négligeable par rapport à la densité de matière.

À l'inverse, pour les temps grands, on retrouve le comportement exponentiel du facteur d'échelle par rapport au temps :

\frac{a}{a_0} \sim \left(\frac{1 - \Omega_\Lambda^0}{4 \Omega_\Lambda^0}\right)^\frac{1}{3} \exp\left(\sqrt{\Omega_\Lambda^0} H_0 t\right) .

Dans ce cas, la constante de Hubble tend effectivement vers la valeur asymptotique \sqrt{\Omega_\Lambda^0} H_0 qui entre dans l'exposant. La transition entre ces deux régimes s'effectue au moment où l'argument du sinus hyperbolique est de l'ordre de 1. Quand cela se produit, la quantité a / a0 est de l'ordre de \left[\left(1 - \Omega_\Lambda^0\right) / \Omega_\Lambda^0 \right]^\frac{1}{3} . Cela correspond au moment où la densité d'énergie associée à la constante cosmologique devient de l'ordre de celle de la matière. Avant cette époque c'est celle de la matière qui domine, et l'on retrouve les résultats de l'univers de poussière, après cette époque, c'est la constante cosmologique qui domine, et l'on retrouve la dynamique de l'univers de de Sitter.

Un point intéressant est de calculer la relation entre âge de l'univers et temps de Hubble 1 / H0. On trouve ainsi

t_0 = \frac{1}{H_0}\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{\Omega_\Lambda^0}} \arg\sinh\sqrt{\frac{\Omega_\Lambda^0}{1 - \Omega_\Lambda^0}} .

Pour des valeurs petites de \Omega_\Lambda^0 , on retrouve la valeur habituelle de t0 = 2 / 3H0, alors qu'à mesure que \Omega_\Lambda^0 croît (en restant bien sûr inférieur à 1), l'âge de l'univers devient plus grand que le temps de Hubble.

Les deux équations de Friedmann
Quelques solutions particulières
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