Équations de Friedmann - Définition et Explications

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Introduction

Alexander Friedmann.

Les équations de Friedmann correspondent aux équations de la relativité générale (appelées équations d'Einstein) écrites dans le contexte d'un modèle cosmologique homogène et isotrope. Elles régissent donc l'évolution du taux d'expansion de l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) et par suite de la distance entre deux astres lointains (le facteur d'échelle) et en fonction du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) appelé dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...) temps cosmique (En cosmologie, le temps cosmique désigne une quantité qui intervient dans un modèle cosmologique homogène et isotrope.). L'évolution de ces quantités est déterminée par les propriétés du contenu matériel de l'univers (rayonnement, atomes (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une...), matière noire (En astrophysique, la matière noire (ou matière sombre), traduction de l’anglais dark matter, désigne la matière apparemment indétectable, invoquée pour rendre...), constante cosmologique (La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses équations de la relativité générale (1915), dans le but de rendre...), etc), ainsi éventuellement que la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) de la gravitation (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) considérée : il est en effet possible de remplacer la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie relativiste de la gravitation,...) par une autre théorie relativiste de la gravitation. Il peut par exemple s'agir d'une théorie tenseur-scalaire. Une autre façon de changer le modèle est de considérer la relativité générale standard mais dans un univers possédant une ou plusieurs dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) supplémentaires. C'est le cas des modèles de cosmologie (La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'Univers en tant que système physique.) branaire.

Les équations de Friedmann tirent leur nom du physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot physicien...) russe Alexandre Friedmann qui a été le premier à les écrire dans le courant des années 1920, avec un premier article traitant des espaces à courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) spatiale positive en 1922, puis un plus général en 1924 incluant le cas d'une courbure spatiale négative. Il fut suivi de près par Georges Lemaître qui retrouva ces équations en 1927, prédisant ou expliquant la loi de Hubble (En astronomie, la loi de Hubble énonce que les galaxies s'éloignent les unes des autres à une vitesse (approximativement, voir ci-dessous) proportionnelle à leur distance....) avant que celle-ci ne soit découverte en 1929. Auparavant, en 1917, Albert Einstein (Albert Einstein (né le 14 mars 1879 à Ulm, Wurtemberg, et mort le 18 avril 1955 à Princeton, New Jersey) est un physicien qui fut successivement allemand, puis apatride (1896), suisse...) les avait écrites dans le cas particulier d'un univers statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :), ainsi que Willem de Sitter dans le cas d'un univers vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide,...), mais avec une constante cosmologique. Les équations de Friedmann sous leur forme actuelle ont été retrouvées et présentées sous une forme unifiée par Howard P. Robertson en 1929, puis indépendamment par Arthur G. Walker en 1936. Pour toutes ces raisons, le type de modèle cosmologique décrit par ces équations est appelé univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (En cosmologie, la métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (souvent abrégée FLRW) est une métrique permettant de décrire un univers localement homogène, localement...) (abrégé en FLRW). Le nom de Lemaître est souvent absent, ainsi plus rarement que celui de Friedmann, ces deux personnes étant néanmoins considérées comme les vrais découvreurs de ces équations.

Les équations de Friedmann sont à la base de la quasi totalité des modèles cosmologiques, dont bien sûr le Big Bang (Le Big Bang est l’époque dense et chaude qu’a connu l’univers il y a environ 13,7 milliards d’années, ainsi que l’ensemble des...).

Les deux équations de Friedmann

Il existe deux équations, la première reliant le taux d'expansion H, la courbure spatiale K et le facteur d'échelle a à la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau...) d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) ρ, la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une...) reliant la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) P à la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) temporelle du taux d'expansion. La variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) de temps utilisée est le temps cosmique, qui correspond essentiellement au temps mesuré sur Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus...). Dans le cadre de la relativité générale, ces deux équations s'écrivent :

3 \left(\frac{H^2}{c^2} + \frac{K}{a^2} \right) = \frac{8 \pi G}{c^4} \rho,
- 2 \frac{\dot H}{c^2} - 3 \frac{H^2}{c^2} - \frac{K}{a^2} = \frac{8 \pi G}{c^4} P ,

G est la constante de Newton et c la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est...) (la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un...) G / c4 est parfois appelée constante d'Einstein). Ces deux équations ne sont pas indépendantes : la seconde s'obtient en prenant la dérivée temporelle de la première, et en utilisant les équations de conservation, reliant la dérivée de la densité d'énergie à la pression. Quand on considère une extension de la relativité générale ou une autre théorie, ces équations sont modifiées. Pour cette raison, le terme d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) de Friedmann est parfois employé au singulier, auquel cas la seule équation considérée est la première.

Il peut arriver (par exemple dans les modèles à dimensions supplémentaires) qu'elles ne soient plus conséquences l'une de l'autre. Dans les autres cas, il est possible de combiner les deux équations de façon à modifier la seconde, soit pour ne faire apparaître une certaine combinaison (Une combinaison peut être :) de la pression et de la densité d'énergie dans le membre de droite, soit pour ne faire apparaître que la dérivée seconde du facteur d'échelle dans le membre de gauche (voir paragraphe ci-dessous). Il est également possible d'effectuer un changement de variable pour utiliser le temps conforme plutôt que le temps cosmique. La résolution de ces équations s'effectue une fois la dépendance de la densité d'énergie et de la pression par rapport au temps ou au facteur d'échelle connus. Un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de solutions exactes sont connues.

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