Constante cosmologique - Définition
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Introduction
La constante cosmologique est un paramètre rajouté par Einstein en février 1917 à ses équations de la relativité générale (1915), dans le but de rendre sa théorie compatible avec l'idée qu'il y avait alors un Univers statique. Après la découverte en 1929 du décalage vers le rouge par Edwin Hubble impliquant un Univers en expansion, Albert Einstein revient sur l'introduction de la constante cosmologique, la qualifiant de « plus grande bêtise de sa vie. » Néanmoins des découvertes récentes durant les années 1990, traitant des problèmes tels que l'énergie du vide, la théorie quantique des champs ou l'accélération de l'expansion de l'Univers ont provoqué un regain d'intérêt pour ce paramètre, qui est par ailleurs compatible avec l'ensemble de la théorie de la relativité générale.
Description mathématique
NB Cet article suit les conventions de signe classiques de MTW
Cet article adopte également la convention de sommation d'Einstein.
On considère un espace-temps caractérisé par le tenseur métrique gμν de signature (-, +, +, +). On note Rμν le tenseur de Ricci associé, et
Introduction
La constante cosmologique est le terme mathématique noté Λ qui apparaît dans l'équation d'Einstein, à partir de laquelle tous les modèles cosmologiques sont dérivés :
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G la constante gravitationnelle (environ 6,6742 × 10-11 m3 kg-1 s-2), c la vitesse de la lumière (exactement 299 792 458 m s-1 par définition), et Tμν le tenseur énergie-impulsion.
Mathématiquement, le membre de gauche de cette équation, qui représente la géométrie de l'espace-temps, est la forme la plus générale d'un tenseur covariant dont la dérivée covariante soit identiquement nulle. En effet, lorsque la connexion est associée à la métrique, on a :
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et les identités de Bianchi s'écrivent :
![\nabla^{\mu} \, \left[ \, R_{\mu\nu} \ - \ \frac{1}{2} \, R \, g_{\mu\nu} \, \right ] \ = \ 0](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/e38f040039e26eb1cdef57031af4d132_b486679ce2cdec0e0dbc72b76b8d38c5.png)
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On en déduit que le tenseur énergie-impulsion, qui décrit la distribution de matière et énergie dans l'espace-temps, est conservé (de façon covariante) :
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Interprétation physique
Le terme contenant la constante cosmologique peut se placer à droite de l'équation en changeant son signe, et l'égalité reste bien évidemment vérifiée :
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Cependant, de ce côté droit, le terme prend une signification différente, puisqu'il est du « côté de l'énergie-impulsion ». On cherche alors une forme d'énergie que le tenseur d'énergie-impulsion décrivant la matière et/ou le rayonnement ordinaires ne contiendrait pas, mais qui serait décrit par le terme de constante cosmologique :
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Cette expression est celle d'un fluide parfait dont la densité d'énergie volumique serait :
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c'est-à-dire que sa masse volumique ρΛ vaudrait :
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et dont la pression serait négative :
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La constante cosmologique contribue ainsi à ce que l'on appelle l'énergie du vide.
Limite newtonienne pour un fluide parfait
On se place à la limite des champs faibles :
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où ημν est la métrique plate de Minkowski. Considérons un espace-temps statique, dont la métrique se met sous la forme :
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Supposons cet univers statique rempli d'un fluide parfait au repos dont la masse volumique est ρ et la pression P. À la limite newtonienne, la pression est faible devant la densité d'énergie :
où V est le potentiel Newtonien de gravitation (
![\Delta \, V \ = \ 4 \pi G \ \left[ \ \rho \ - \ 2 \, \rho_{\Lambda} \ \right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/5b888d099ed0750e58104f563df8ecf9_5193ae53f06d29cf66b0bc2c5a073aef.png)
Pour un fluide réel, la masse volumique est toujours positive et l'effet gravitationnel est toujours attractif. En revanche, avec une constante cosmologique positive, la masse volumique associée est aussi positive, et la présence du signe « moins » entraîne un effet gravitationnel répulsif.
