Équations de Friedmann - Définition

Quelques solutions particulières

Quand le membre de droite ne comporte qu'une seule espèce, et en l'absence de courbure spatiale, les équations de Friedmann peuvent être résolues sans difficulté. En présence de plusieurs types de matière et/ou de courbure, des solutions analytiques exactes peuvent parfois être trouvées. Dans les autres cas, une résolution numérique des équations se fait sans difficulté.

Univers de poussière

Quand l'univers est empli de matière non relativiste (c'est-à-dire dont la pression est négligeable, d'où le terme de « poussière »), la densité d'énergie décroît uniquement du fait de la dilution due à l'expansion. Le facteur d'échelle évolue alors selon la loi

,

les quantités a et t correspondant au facteur d'échelle et au temps évalués à une époque de référence donnée. De plus, l'âge de l'univers à cette époque, t se déduit du taux d'expansion à la même époque par .

Une telle solution est appelée, pour des raisons historiques univers d'Einstein-de Sitter, bien que ces derniers ne soient pas les premiers à avoir exhibé cette solution.

Dans un tel modèle, l'univers est donc plus jeune que le temps de Hubble. Si l'on prend la valeur mesurée de la constante de Hubble, à environ 70 kilomètres par seconde et par mégaparsec, l'application numérique donne un âge à peine supérieur à 9 milliards d'années. Cet âge étant significativement inférieur à l'âge estimé de nombreux objets astrophysiques (certaines étoiles, naines blanches, et la Voie lactée dans son ensemble), il est considéré qu'un tel univers de poussière ne peut correspondre à l'univers observable, ce qui est une des indications parmi d'autres de l'existence de l'énergie noire (voir ci-dessous). Il est aussi à noter que la dépendance du facteur d'échelle par rapport au temps est telle que sa dérivée seconde est négative, ce qui correspond à une phase d'expansion décélérée, compatible avec l'intuition que la nature attractive de la gravité a tendance à ralentir le mouvement d'expansion. Les observations, en particulier celle des supernovae de type Ia, suggèrent que la phase actuelle d'expansion est accélérée, ce qui est une autre indication de la nécessité de la présence d'énergie noire. Il est par contre certain que l'univers a connu par le passé une phase où son expansion était dominée par de la matière non relativiste, car c'est la seule époque où le mécanisme d'instabilité gravitationnelle peut se produire.

Univers de radiation

Quand l'univers est empli de matière relativiste ou de radiation, la densité d'énergie ρ décroît plus vite que précédemment car en plus de la dilution due à l'expansion, l'énergie des particules individuelles décroît avec l'expansion (ce n'est rien d'autre que l'effet de décalage vers le rouge). La densité décroissant plus vite, le taux d'expansion décroît également plus vite, et l'expansion décélère plus rapidement que dans le cas d'un univers de poussière. Le facteur d'échelle évolue selon la loi

.

L'âge de l'univers dans un tel modèle s'écrit alors

.

Comme dans le cas de l'univers de poussière, l'expansion est décélérée et l'âge donné par ce modèle ne peut correspondre aux observations. Ce modèle correspond par contre bien aux époques reculées de l'histoire de l'univers, quand la quasi-totalité de la matière était sous forme relativiste. En particulier l'époque de la nucléosynthèse s'est produite quand la densité d'énergie était majoritairement due à de la matière relativiste, hypothèse que l'on teste directement par la mesure de l'abondance des éléments légers. D'autres indications du fait que l'univers a connu une période dominée par la radiation est l'existence du fond diffus cosmologique.

Constante cosmologique

Une constante cosmologique peut s'interpréter comme une forme de matière de densité d'énergie constante et de pression exactement opposée à celle-ci. Quand la densité d'énergie est positive, les équations de Friedmann admettent, en l'absence de courbure spatiale, la solution exponentielle

,

le paramètre de Hubble étant constant au cours du temps.

Un tel modèle représente un univers éternel, sans commencement ni fin. C'est l'univers de de Sitter, obéissant au principe cosmologique parfait. Il existe une autre configuration donnant lieu à la même dynamique de l'expansion : les deux formes de matière sont alors de la matière ordinaire non relativiste, et une forme de matière extrêmement exotique, appelée champ C, responsable d'une création continue de matière compensant exactement la dilution due à l'expansion. C'est la base de la théorie de l'état stationnaire, aujourd'hui abandonnée en raison de l'absence totale de motivation théorique ou observationnelle du champ C. Enfin, en présence d'un champ scalaire, celui-ci peut, temporairement se comporter de façon extrêmement semblable à une constante cosmologique, comportement qu'il peut par la suite abandonner. Ainsi, il est possible que sous l'effet d'un tel champ scalaire, l'expansion de l'univers connaisse une phase exponentielle. C'est la base des modèles d'inflation cosmique qui prédisent l'existence d'une telle phase à une époque très reculée de l'histoire de l'univers.

Équation d'état constante

Tant que la pression est proportionnelle à la densité, avec une constante de proportionnalité constante, on peut résoudre les équations de Friedmann. On note w le rapport de la pression à la densité,

.

Pour toute forme de matière raisonnable, le facteur w est compris entre -1 et 1. Le cas où w est inférieur à -1 correspond à ce qui est appelé énergie fantôme, une forme d'énergie extrêmement spéculative donnant lieu à un scénario cosmologique étrange, le Big Rip. Les cas où w vaut 0, 1/3, -1 correspondent respectivement aux cas de la poussière, la radiation et de la constante cosmologique. Quand w est différent de -1, on obtient

.

Quand w est supérieur à -1, le facteur d'échelle tend vers 0 quand t tend vers 0. Il y a donc un Big Bang, et l'expansion se poursuit indéfiniment. À l'inverse, quand w est inférieur à -1, alors cette fois, le facteur d'échelle tend vers 0 quand t est négatif et tend vers l'infini, et il tend vers l'infini quand t tend vers 0. Dans ce cas, on a un univers existant de toute éternité, mais ayant une durée de vie finie dans le futur (voir ci-dessous).

Quand w est supérieur à -1, l'âge de l'univers s'écrit

.

Les valeur de w égales à 0 et 1/3 redonnent bien sûr les résultats précédents. Quand w est égal à -1, on a un univers sans commencement ni fin, et ne présentant pas d'évolution. Quand w est inférieur à -1, on a un univers sans commencement, mais atteignant une singularité gravitationnelle dans un temps fini, bien que restant toujours en expansion. En effet, quand le facteur d'échelle tend vers l'infini, alors la densité d'énergie diverge, et ce en un temps fini : c'est le Big Rip (litt. « grande déchirure »). Le temps qu'il reste à l'univers avant cette singularité est donné par

.