Espace topologique - Définition

Propriétés

• On dit qu’un espace topologique est séparé ou de Hausdorff ou T₂ lorsque deux points distincts quelconques admettent des voisinages disjoints.
• On dit qu’un espace vérifie la propriété de Borel-Lebesgue lorsqu’on peut extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement ouvert. On parle aussi d’espace quasi-compact.
• Un espace quasi-compact et séparé est dit compact.

Exemples

• Le premier exemple historique d’espace topologique est l’ensemble des nombres réels. Cet exemple est celui qui est à la base de la théorie des espaces topologiques. Il apparaît comme un cas particulier de la deuxième famille d’exemples donnés ici.
• Les espaces métriques et, en particulier, les espaces vectoriels normés sont des espaces topologiques.
• Il existe de nombreuses classes d'espaces topologiques (espaces vectoriels topologiques, espace de Banach, de Fréchet, de Hilbert, de Hausdorff, de Kolmogorov, de Montel, de Baire, compacts, quasi-compacts, précompacts, paracompacts, bien enchaînés, complets, connexes, simplement connexes, connexes par arcs, localement compacts, localement connexes, groupe topologique, anneau topologique, etc.).