Exégèse des Principia - Définition

Comment procéder ?

Un exemple : Lecture de la Proposition.VI

Soit une trajectoire (T) d'un point matériel P, de masse m, sous l'action d'un champ central de centre O.

Problème : trouver la force m a, agissant en ce point P.

Réponse : Prendre le point Q voisin de P dans le temps ultérieur [dt]. Tracer la demitangente en P ; puis la parallèle à OP, menée de Q, qui vient couper la tangente en R.

Graphiquement, tracer par exemple le segment OP "vertical", P: (x=0;z=10), la portion de tangente PR vers la droite, disons R :(x= 2;z= 8). tracer le segment vertical "descendant" RQ ( Q :(x=2;z=7) ). Fermer le trapèze OPRQ en traçant la droite QO. Finir la figure en traçant l'arc ( ~ parabolique) de la courbe (T), soit arc PQ.

La figure ressemble alors à celle de Torricelli, en 1641(?), dans son livre de Motu, présenté à Castelli, puis envoyé à Galilée.

Le raisonnement va être pratiquement le même, à ceci près que Newton possède une horloge QUI n'EST PAS l'ABSCISSE de R (ou de Q), car le champ est CENTRAL ( or Newton a déjà repéré ce piège en 1679 ( cf déviation vers l'Est) : cette horloge est la LOI des AIRES : aire OPQ = C .dt.

Le raisonnement ensuite est identique : PR = V(P).dt et la chute est RQ: = h = 1/2 a(P). [dt]²:= 1/2 . g .[dt]²

Alors, QUEL QUE SOIT PR , a(P) = 2 RQ / (aire/C)² ; a(P) ne dépend pas de la vitesse V(P)! En prenant des notations à la Torricelli , obtenir alors la formule très simple à retenir :

h := RQ = 1/2. g(P) . [dt]² = 1/2. g(P) . [aire/C]²

Selon les cas, cette aire sera exprimée par 1/2 x(Q).OP, ou via la podaire, comme 1/2 . p.PQ .

Ce théorème est relativement peu connu en France, malgré sa relative simplicité !

Remarquons tout de suite le scaling de la formule : si la courbe est la spirale équiangulaire de Torricelli-Bernouilli, alors h/aire² varie comme 1/r³ ~ g(r) ! c'est la proposition 9 (cf aussi Spirale logarithmique de Newton)!

Bibliographie

• Brackenridge, Key to Newton's dynamics, 1995, u California p,
• Cohen & Whitman, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, u California p,
• Cordani, The Kepler problem, 2003, ed Birkhauser,
• Densmore, Newton's Principia, 1995, ed Green Lion Press,
• Guicciardini, Reading the Principia, 1999, CUP,
• Voir aussi les ouvrages de Cohen, Whiteside, Biarnais et De Gandt

Corollaire sur la Transmutation de la force

Célèbre théorème où Newton montre que n'importe quelle trajectoire de champ central S peut être une trajectoire de champ central de centre Q, avec une loi de force différente bien sûr. En particulier, on peut transmuter la loi de Hooke avec centre au centre de l'ellipse, en une loi en 1/ FP², avec pour centre de force le foyer F de l'ellipse : ce théorème fut un féroce pied-de-nez à Hooke, qui ne put jamais s'en remettre : à tout jamais, il fut celui qui n'avait su passer que des ellipses de Hooke aux elliptoïdes; il ne possédait pas la puissance mathématique de Newton, et s'il était très doué en dessin, cela ne lui permettait évidemment pas de passer à la "limite de l'ultime quotient 0/0" !

Rappelons cet énoncé :

• Énoncé : Soit un champ central de centre S de force F(r) produisant un mouvement de trajectoire (T), décrit selon la loi des aires (deuxième loi de Kepler).

Alors, cette même trajectoire (T) existe comme solution d'un problème de champ central de centre S' quelconque (mais dans la concavité de (T), certes), de force F'(r') différente évidemment :

F'(r') = F(r). (facteur de transmutation)

Ce facteur de transmutation vaut : SG^3/(r. r'²), où SG est le segment parallèle au vecteur S'M, situé entre S et la tangente-en-M à la trajectoire (T).

Rappelons la conséquence historique de 1684 : Hooke ⇒ Kepler.

En effet soit S = O centre de l'ellipse et F(r) = - k r (loi dite de Hooke);

Et soit S' = F foyer de la même ellipse, alors SG = cste = a,

le facteur de transmutation devient a³/ (r . r'²) et donc la force centrale de Foyer F est -k a³/r'² en 1/r'² .