Figure de pôles - Définition

Introduction

La figure de pôles est une manière de représenter les orientations dans l'espace.

Définition des pôles

Considérons une sphère et un plan passant par le centre de la sphère. L'intersection du plan et de la sphère est un grand cercle ; la droite perpendiculaire au plan et passant par le centre (c'est un diamètre) coupe la sphère en deux points.

Les deux points sont les pôles associés au cercle.

Pôles des faces d'un cube

Considérons un cube d'orientation quelconque, dans une base orthonormale , le cube étant lui-même muni d'une base orthonormale . On peut représenter l'orientation de ce cube par les rotations nécessaires pour passer d'une base à l'autre (voir l'article Angles d'Euler). On peut aussi représenter son orientation par deux pôles, par exemple :

• pôle de la demi-sphère supérieure correspondant au plan , appelons-le P₁ ;
• pôle de la demi-sphère supérieure correspondant au plan , appelons-le Q₁ ;

Notes

1. Un seul pôle ne suffit pas à déterminer l'orientation du cube : en effet, le pôle reste le même si l'on fait tourner le cube autour de l'axe normal à la face.
2. Le volume considéré peut être autre chose qu'un cube.

Géométrie dans la figure de pôles

Abaque de Wulff, pas de 10 °

Abaque de Wulff et pôle et trace d'un plan

Définitions

• L'intersection d'un plan passant par le centre avec la sphère est un grand cercle. La projection stéréographique de ce grand cercle est appelée « trace du plan » ; c'est un arc.
• Lorsque des plans se recoupent en une même droite Δ, ils sont dits « en zone autour de l'axe Δ ».

La lecture d'une figure de pôles fait appel à un abaque de Wulff : il s'agit d'un calque transparent sur lequel sont tracées les traces de plans en zone autour d'un axe horizontal. L'angle entre deux plans consécutifs est toujours le même. Ainsi, si l'on a la trace d'un plan, pour connaître son inclinaison par rapport à l'horizontale, il faut :

• faire tourner l'abaque autour de l'origine afin que la trace du plan corresponde au mieux à une des traces de l'abaque ;
• lire l'angle correspondant aux traces de l'abaque les plus proches de la trace en question.

Le pôle est situé sur la normale au plan ; donc, il est situé sur la trace de l'abaque faisant un angle de 90° par rapport à la trace du plan. Par exemple, si l'on détermine que le plan fait un angle de ρ par rapport à l'horizontale, le pôle se trouve sur la trace du plan faisant un angle de ρ+90°, c'est-à-dire un angle α par rapport au centre de l'abaque ; il se trouve sur l'axe des x de l'abaque.

Considérons maintenant des plans en zone autour d'un axe Δ. Les pôles de ces plans sont perpendiculaires à Δ. Si l'on considére le plan P normal à Δ, les pôles des plans en zone sont sur la trace de P.

Projection stéréographique

Projection stéréographique d'un pôle

La figure de pôles est en fait la projection stéréographique des pôles considérés.

Considérons le plan de référence de la base  : le plan ou plan (x,y). C'est le plan de l'équateur de la sphère, ses pôles sont le pôle Sud et le pôle Nord.

Traçons une droite entre le pôle Sud et le pôle P₁ ; cette droite coupe le plan de l'équateur en P'₁. Le point P'₁ est la projection stéréographique du pôle P₁.

Le plan de projection peut être n'importe quel plan parallèle à l'équateur (excepté celui passant par le pôle Sud) : les figures seront proportionnelles (cf. théorème de Thalès). En particulier, on place souvent le plan de projection au pôle Nord.

Le diagramme est donc un disque. Les coordonnées polaires (r,α) du point représentatif sont liés à l'orientation de la manière suivante :

• l'angle α correspond au méridien du pôle (cet angle est conservé par la projection) ;
• le rayon r correspond à la latitude du pôle, à la distance zénithale.

Pour représenter l'orientation du cube :

• soit on place les deux pôles sur la même figure ;
• soit on utilise deux figures, une par pôle.

Pour des raisons de clareté, c'est la deuxième solution qui est utilisée.