Forme différentielle de degré un - Définition

Formes différentielles sur un ouvert de l'espace euclidien

Modèles locaux

Les modèles locaux en géométrie différentielle sont les ouverts d'espaces vectoriels de dimension finie. Les objets et leurs propriétés peuvent se définir sur de tels espaces ; leurs invariances par difféomorphismes autorisent ensuite le passage aux variétés.

Etant donné un espace vectoriel normé réel ou complexe E (en général de dimension finie, mais pas nécessairement) et U un ouvert de E, une forme différentielle ω (de degré 1) de classe sur U est une application de classe de régularité de U dans l'espace dual E* de E. En chaque point u de U, ω(u) est donc une forme linéaire, qui peut être appliquée à un vecteur h de E : ω(u)(h) est donc un scalaire (un réel ou un complexe).

En dimension finie le choix d'une base de E permet d'exprimer les 1-formes différentielles. Plus exactement, si une base e=(e₁,..., e_n) de E est donnée, il lui est associée la base duale de E* : les éléments de celle-ci sont notés ou dx_i. Par définition, dx_i appliqué en un vecteur donne sa i-ème coordonnée dans la base e. Toute forme linéaire sur E s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire des dx_i ; de même, la forme différentielle ω dans la base e s'exprime de manière unique sous la forme:

,

où a₁,..., a_n sont des fonctions de classe sur U. Certains auteurs écrivent cette identité de manière plus condensée en utilisant la convention de sommation d'Einstein:

.

Exemple : Pour une fonction f de classe sur l'ouvert U, sa différentielle df est une forme différentielle de classe . Elle s'écrit explicitement :

.

Notamment, dans le cas où l'application f est l'application qui à x associe sa i-ième coordonnée : , la différentielle en tout point df=dx_i est l'application elle-même. Cette remarque justifie la notation ci-dessus.

Changement de coordonnées

L'algèbre linéaire montre comment l'expression d'une forme linéaire dans une base dépend de cette dernière. Plus exactement, son expression dans une nouvelle base se déduit par l'action de la transposée de la matrice de passage. Si e et f sont deux bases de E, et si sont les expressions d'une même forme linéaire de E respectivement dans les deux bases, alors b = ^tM.a où M est la matrice de passage de e à f.

En géométrie différentielle se rencontrent des changements de coordonnées locales qui correspondent à des difféomorphismes. Il apparaît nécessaire de comprendre comment un difféomorphisme agit sur une 1-forme différentielle définie sur un ouvert d'un espace vectoriel. Si est une application différentiable de classe entre deux ouverts d'un même espace vectoriel normé E et ω est une 1-forme différentielle de classe C^k sur V, il est possible de définir une 1-forme différentielle Φ ^* ω de classe sur U, appelée tiré en arrière de ω et définie par :

.

L'expression des 1-formes différentielles a été choisie pour que les calculs puissent être menés sans difficulté. Si e et f sont des bases de E, et que ω s'exprime dans la base f:

alors l'expression de Φ ^* ω dans la base e est :

.

Définition sur les variétés

Une variété M de classe C^{k + 1} peut être décrite comme un ensemble d'ouverts de l'espace , recollés par des difféomorphismes de classe C^{k + 1}, les changements de cartes. Une 1-forme différentielle de classe C^k sur M est la donnée d'une 1-forme différentielle sur chacun de ces ouverts telle que ces formes se correspondent par l'action des changements de carte. Plus exactement, c'est un champ de formes linéaires sur les espaces tangents T_xM.

Lien avec les champs de vecteurs

Si E est muni d'un produit scalaire (et de dimension finie), il existe un isomorphisme entre E et son dual. On peut donc établir une correspondance entre formes différentielles et champs de vecteurs : si ω est une forme différentielle sur U, il existe un unique champ de vecteurs X sur U tel que

.

À la notion de forme différentielle exacte ayant f pour primitive correspond alors celle de champ de gradient, dérivant du potentiel f :

.