Graphe de liaisons - Définition
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Introduction
Un graphe de liaisons — également appelé graphe à liens ou bond graph — est une représentation graphique d'un système dynamique physique (mécanique, électrique, hydraulique, pneumatique, etc.) qui représente les transferts d'énergie dans le système. Les graphes de liaisons sont basés sur le principe de la conservation de la puissance. Les liens d'un graphe de liaisons sont des symboles qui représentent soit des flux d'énergie, soit des flux d'information.
Le graphe de liaisons est un outil mathématique utilisé en ingénierie des systèmes. Il permet de modéliser un système piloté afin d'optimiser son dimensionnement et la conception de ses lois de commande.
Comparés à une autre représentation visuelle du système en schéma-bloc, les graphe de liaisons ont plusieurs avantages :
- ils distinguent les flux d'énergie des flux d'information ;
- puisqu'ils reposent sur le principe de la conservation de l'énergie, ils rendent impossible d'insérer de l'énergie inexistante dans le système ;
- ils mettent en évidence la causalité entre les efforts (force, tension, pression) et les flux (vitesse, courant, débit). Cette causalité est rajoutée une fois que le schéma initial a été construit, ce qui permet entre autres de détecter des phénomènes modélisés qui ne sont pas physiques tels qu'imposer un courant dans une bobine, la vitesse d'un volant d'inertie, etc. ;
- comme chaque lien représente un flux bidirectionnel, les systèmes qui produisent des contre-efforts (exemple : force électromotrice des moteurs) qui agissent sur le système se représentent sans ajout de boucle de contre-réaction.
Si la dynamique du système à modéliser opère sur différentes échelles de temps, les comportements rapides en temps réel peuvent être modélisés comme des phénomènes instantanés en utilisant des graphe de liaisons hybrides.
Description générale
Dans un graphe de liaison :
- les nœuds (vertices) sont des « phénomènes physiques », décrit par des équations : ce terme général peut désigner des pièces mécanique, des composants électriques, des actionneurs hydrauliques, … cela peut aussi être des sous-ensembles de pièces, c'est-à-dire qu'un nœud peut lui-même être décrit par un graphe de liaisons, mais également une loi physique s'appliquant à l'ensemble du système (par exemple la loi des mailles ou la loi des nœuds pour un circuit électrique) ;
- les arcs (edges) sont des flux d'énergie, c'est-à-dire qu'ils représentent l'action qu'un nœud exerce sur un autre ; ils sont appelés « liaisons » (bonds), d'où le nom du graphe.
Les échanges entre nœuds sont décrits par deux paramètres : le flux et l'effort. Le flux représente une quantité par unité de temps : intensité du courant électrique, i, débit de fluide Qv, vitesse d'une pièce v, … L'effort représente la force avec laquelle le flux est poussé : tension électrique u, pression du fluide P, force F, … Le produit du flux et de l'effort donne la puissance (en watts).
| Domaine d'énergie | Effort | Flux |
|---|---|---|
| mécanique, translation | force F (en N) | vitesse linéaire v (en m⋅-1) |
| mécanique, rotation | couple C (en N⋅m) | vitesse angulaire ω (en rad⋅-1) |
| électrique | tension u (en V) | courant i (en A) |
| hydraulique | pression P (en Pa) | débit volumique Qv (en m3⋅-1) |
Les arcs sont des demi-flèches (harpons) dont le crochet est orienté vers le bas ou vers la droite, ⇁, ↽, ↾ ou ⇂. Le sens de la flèche indique le signe positif de la puissance, c'est-à-dire si la puissance est comptée positive en entrée ou en sortie. Dans le cas d'un appareil de mesure (thermomètre, tachymètre, dynamomètre, débitmètre, manomètre, voltmètre, ampèremètre, …), le flux d'énergie est négligeable, on utilise une flèche entière, →, ←, ↑ ou ↓.
Les lois régissant les nœuds relient souvent le flux et l'effort. Par exemple, pour une résistance électrique, la loi d'Ohm impose une relation entre l'intensité et la tension :
- u = R⋅i.
Si la résistance est connectée à une source de tension, alors la source impose u, et la résistance détermine i. À l'inverse, s'il s'agit d'une source d'intensité, la source impose i, et u en découle. On a donc une causalité. Pour indiquer cela sur le graphe, on place une barre à l'extrémité de la flèche qui définit le flux. Cela permet de connaître la valeur d'entrée et la valeur de sortie de la loi, c'est-à-dire le sens de la relation de calcul, e = ƒ(f ) ou f = ƒ(e )
Dans les graphes ci-contre, on utilise les abréviations standard (voir ) : Se pour une source d'effort, Sf pour une source de flux, R pour un élément dissipatif.
Un nœud peut aussi représenter une loi physique liée au système et non à un élément particulier. Une loi qui impose une même valeur d'effort e à plusieurs autres nœuds est appelée jonction de type 0. Une loi qui impose une même valeur de flux f à plusieurs autres nœuds est appelée jonction de type 1.
Si l'on prend l'exemple d'un circuit RLC série, alors le circuit n'a qu'une seule branche. La loi des mailles impose une même valeur de l'intensité à tous les éléments, il s'agit d'une jonction de type 1. Si le circuit est parallèle, alors la loi des nœuds impose une même valeur de la tension à tous les éléments, il s'agit d'une jonction de type 0.
Notons que les sens des flèches dépendent des conventions de signe choisies pour les circuits.
