Lemme de Zorn - Définition

Histoire

Des principes du maximum plus ou moins proches du lemme de Zorn ont été découverts et redécouverts de nombreuses fois, sur une période qui va de 1907 à la fin des années 1930. Zorn lui même ne revendiquait d'ailleurs pas la paternité du résultat. En 1928 Salomon Bochner, dans un article sur les surfaces de Riemann, démontre un lemme dont l'énoncé est celui, usuel aujourd'hui (version (1,4)), du lemme de Zorn pour un ensemble ordonné. Mais en 1922 Kuratowski donnait déjà un énoncé en termes d'inclusion, comme celui de l'article de Zorn, mais plus général puisque la condition porte sur des chaînes (pour l'inclusion) bien ordonnées, et pas seulement totalement ordonnées comme dans le cas de Zorn. Felix Hausdorff donne l'énoncé de Kuratowski dans la seconde édition de 1927 de son livre de théorie des ensemble Grundzüge der MengenLehre. Robert Lee Moore donne un énoncé identique à celui de l'article de Zorn dans un livre paru en 1932, Foundations of point set theory, où il fait référence à Kuratowski.

Cependant, Zorn fut le premier à utiliser le lemme en algèbre pour les conséquences connues de l'axiome du choix, là où ses prédécesseurs utilisaient le théorème de Zermelo et la récurrence transfinie. Zorn fut également le premier à annoncer l'équivalence d'un tel principe du maximum avec l'axiome du choix. Il présente son « principe du maximum » alors qu'il est encore en Allemagne, à Hambourg en 1933, et intéresse Emil Artin et Claude Chevalley. Il semble que c'est à partir de là que le lemme de Zorn circule sous ce nom, par l'intermédiaire d'Artin, de Chevalley et également de Solomon Lefschetz. Les mathématiciens se rendent alors compte qu'il peut être largement utilisé, non seulement en algèbre mais aussi, par exemple, en topologie. On trouve, sous ces dénominations, le « théorème de Zorn » dans le fascicule de résultats de Bourbaki (groupe de mathématiciens dont Chevalley fait partie) paru en 1939, et le « lemme de Zorn » dans le livre de John Tukey Convergence and Uniformity in Topology paru en 1940.

Par ailleurs des principes du maximum apparaissent avant Kuratowski. Hausdorff énonce un cas particulier de son théorème de maximalité en 1907, le généralise en 1909 (sous la forme : tout ensemble de parties contient une chaîne maximale pour l'inclusion, énoncé déjà équivalent au lemme de Zorn), et donne la forme donnée ci-dessus en 1914 dans la première édition de son livre Grundzüge der Mengenlehre. On trouve également des cas particuliers du lemme de Zorn pour l'inclusion, avec des travaux en topologie autour de 1910 et 1911 de Zygmunt Janiszewski, Stefan Mazurkiewicz, Ludovic Zoretti et LEJ Brouwer.